А.О. Леонтьева. О константах в неравенстве Бернштейна — Сегё для производной Bейля порядка, меньшего единицы, тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа в равномерной норме ... С. 130-139

УДК 517.518.86

MSC: 26A33, 41A17

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-4-130-139 

Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2023-913).

Полный текст статьи (Full text)

Статья переведена: ISSN 0081-5438 

Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2023, Vol. 323, Suppl. 1, pp. S146–S154. (Abstract)

Во множестве $\mathscr{T}_n$ тригонометрических полиномов $f_n$ порядка $n$ с комплексными коэффициентами рассматривается производная Вейля (дробная производная) $f_n^{(\alpha)}$ вещественного неотрицательного порядка $\alpha$. Изучается вопрос о константе в неравенстве Бернштейна — Сегё $\Bigl\|f_n^{(\alpha)}\cos\theta+\tilde{f}_n^{(\alpha)}\sin\theta\Bigr\|\le B_n(\alpha,\theta)\|f_n\|$ в равномерной норме. Такое неравенство хорошо изучено при $\alpha\ge 1$. Г.Т. Соколов в 1935 г. доказал, что оно выполняется с константой $n^\alpha$ при всех $\theta\in\mathbb{R}.$ При $0<\alpha<1$ о величине $B_n(\alpha,\theta)$ известно существенно меньше. В данной статье при $0<\alpha<1$ и $\theta\in\mathbb{R}$ получено предельное соотношение $\lim_{n\to\infty}B_n(\alpha,\theta)/n^\alpha=\mathcal{B}(\alpha,\theta),$ где $\mathcal{B}(\alpha,\theta)$ — точная константа в аналогичном неравенстве для целых функций экспоненциального типа не выше 1, ограниченных на вещественной оси. Значение $\theta=-\pi\alpha/2$ соответствует производной Рисса — важному частному случаю оператора Вейля — Сегё. В этом случае для величины $B_n(\alpha)=B_n(\alpha,-\pi\alpha/2)$ получена точная асимптотика при $n\to\infty.$

Ключевые слова: тригонометрические полиномы, целые функции экспоненциального типа, оператор Вейля — Сегё, производная Рисса, неравенство Бернштейна, равномерная норма

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Weyl H. Bemerkungen zum Begriff des Differentialquotienten gebrochener Ordnung // Vierteljahrcsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zurich. 1917. Bd 62, № 1–2. S. 296–302.

2.   Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 638 с.

3.   Леонтьева А.О. Неравенство Бернштейна — Сегё для производных Вейля тригонометрических полиномов в пространстве $L_0$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 4. С. 199–207. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-199-207

4.   Бернштейн С.Н. Об одном свойстве целых функций // Собрание сочинений: Т. 1: Конструктивная теория функций. М.: Изд-во АН СССР, 1952. 582 с.

5.   Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. 408 c.

6.   Арестов В.В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1981. Т. 45, №1. С. 3–22.

7.   Арестов В.В., Глазырина П.Ю. Неравенство Бернштейна — Сегё для дробных производных тригонометрических полиномов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 17–31.

8.   Горбачев Д.В. Точные неравенства Бернштейна — Никольского для полиномов и целых функций экспоненциального типа // Чебышевский сб. 2021. Т. 22, № 5. С. 58–110. doi: 10.22405/2226-8383-2021-22-5-58-110

9.   Соколов Г.Т. О некоторых экстремальных свойствах тригонометрических сумм // Изв. АН СССР. VII серия. Отделение математических и естественных наук. 1935. Вып. 6-7. С. 857–884.

10.   Kozko A.I. The exact constants in the Bernstein–Zygmund–Szegö inequalities with fractional derivatives and the Jackson–Nikol’skii inequality for trigonometric polynomials // East J. Approx. 1998. Vol. 4, no. 3. P. 391–416.

11.   Лизоркин П.И. Оценки тригонометрических интегралов и неравенство Бернштейна для дробных производных // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1965. Т. 4, № 3. C. 109–126.

12.   Виноградов О.Л. Точные оценки погрешностей формул типа численного дифференцирования на классах целых функций конечной степени // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 3. С. 538–555.

13.   Civin P. Inequalities for trigonometric integrals // Duke Math. J. 1941. Vol. 8. P. 656–665. doi: 10.1215/S0012-7094-41-00855-4

14.   Леонтьева А.О. Неравенство Бернштейна для производной Рисса дробного порядка, меньшего единицы, целых функций экспоненциального типа // Докл. РАН. Сер. Математика, информатика, процессы управления. 2023. Vol. 514. C. 118-121. doi: 10.31857/S2686954323600611

15.   Стечкин С.Б. К проблеме множителей для тригонометрических полиномов // Докл. АН СССР. 1950. Т. 75, № 2. С. 165–168.

16.   Wilmes G. On Riesz-type inequalities and K-functionals related to Riesz potentials in $\mathbb{R}^N$// N. Numer. Funct. Anal. Optim. 1979. Vol. 1, № 1. P. 57–77. doi: 10.1080/01630567908816004

17.   Bang. T. Une inégalite de Kolmogoroff et les fonctions presque-périodiques // Danske Vid. Selsk. Math.-Fys. Medd. 1941. Vol. 19, № 4. P. 28.

18.   Гейсберг С.П. Аналоги неравенств С. Н. Бернштейна для дробной производной // Вопросы прикладной математики и математического моделирования : Краткие содержания докл. 25-й науч. конф. (24 янв. – 4 февр. 1967 г.) / Ленингр. инж.-строит. ин-т. Л., 1967. C. 5–10.

19.   Ganzburg M.I. Sharp Constants of Approximation Theory. IV. Asymptotic Relations in General Settings Anal. Math. 2023. Vol. 49, no. 1. P. 79–136. doi: 10.1007/s10476-022-0185-z

20.   Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. Границы полиномиальных констант Никольского в $L^p$ с весом Гегенбауэра // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. С. 126–137. doi: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-126-137

21.   Arestov V.V., Deikalova M.V. On one inequality of different metrics for trigonometric polynomials // Ural Math. J. 2022. Vol. 8, no. 2. P. 27–45. doi: 10.15826/umj.2022.2.003

22.   Ganzburg M.I., Tikhonov S.Yu. On Sharp Constants in Bernstein-Nikolskii Inequalities // Constr. Approx. 2017. Vol. 45. P. 449–466. doi: 10.1007/s00365-016-9363-1

23.   Левитан Б.М. Об одном обобщении неравенств С. Н. Бернштейна и H. Bohr’а // Докл. АН СССР. 1937. Т. 15. С. 17–19.

24.   Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Физматлит, 2003. 863 с.

Поступила 3.07.2023

После доработки 8.08.2023

Принята к публикации 14.08.2023

Леонтьева Анастасия Олеговна
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: lao-imm@yandex.ru

Ссылка на статью: А.О. Леонтьева. О константах в неравенстве Бернштейна — Сегё для производной Bейля порядка, меньшего единицы, тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа в равномерной норме // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 4. С. 130-139

English

A.O. Leont’eva. On constants in the Bernstein–Szegö inequality for the Weyl derivative of order less than unity of trigonometric polynomials and entire functions of exponential type in the uniform norm

In the set $\mathscr{T}_n$ of trigonometric polynomials $f_n$ of order $n$ with complex coefficients, the Weyl derivative (fractional derivative) $f_n^{(\alpha)}$ of real nonnegative order $\alpha$ is considered. We study the question about the constant in the Bernstein—Szegö inequality $\Bigl\|f_n^{(\alpha)}\cos\theta+\tilde{f}_n^{(\alpha)}\sin\theta\Bigr\|\le B_n(\alpha,\theta)\|f_n\|$ in the uniform norm. This inequality has been well studied for $\alpha\ge 1$: G.T. Sokolov proved in 1935 that it holds with the constant $n^\alpha$ for all $\theta\in\mathbb{R}$. For $0<\alpha<1$, there is much less information about $B_n(\alpha,\theta)$. In this paper, for $0<\alpha<1$ and $\theta\in\mathbb{R}$, we establish the limit relation $\lim_{n\to\infty}B_n(\alpha,\theta)/n^\alpha=\mathcal{B}(\alpha,\theta),$ where $\mathcal{B}(\alpha,\theta)$ is the sharp constant in the similar inequality for entire functions of exponential type at most~$1$ that are bounded on the real line. The value $\theta=-\pi\alpha/2$ corresponds to the Riesz derivative, which is an important particular case of the Weyl—Szegö operator. In this case, we derive an exact asymptotic expansion for the quantity $B_n(\alpha)=B_n(\alpha,-\pi\alpha/2)$ as $n\to\infty$.

Keywords: trigonometric polynomials, entire functions of exponential type, Weyl—Szegö operator, Riesz derivative, Bernstein inequality, uniform norm

Received July 3, 2023

Revised August 8, 2023

Accepted August 14, 2023

Funding Agency: This work was performed as a part of the research conducted in the Ural Mathematical Center and supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (agreement no. 075-02-2023-913).

Anastasiya Olegovna Leont’eva, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: lao-imm@yandex.ru

Cite this article as: A.O. Leont’eva. On constants in the Bernstein–Szegö inequality for the Weyl derivative of order less than unity of trigonometric polynomials and entire functions of exponential type in the uniform norm. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 4, pp. 130–139; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl)., 2023, Vol. 323, Suppl. 1, pp. S146–S154.

[References -> on the "English" button bottom right]