Е.С. Жуковский, Е.А. Панасенко. Метод сравнения с модельным уравнением в исследовании включений в векторных метрических пространствах ... С. 68-85

УДК 517.988 + 517.968.4

MSC: 54E35, 47H04, 45G10

DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-2-68-85

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 24-21-00272, https://rscf.ru/project/24-21-00272/ .

Для заданного многозначного отображения $F:X \rightrightarrows Y$ и заданного элемента $\tilde{y} \in Y$ исследуется вопрос о существовании и оценках решения $x\in X$ включения $F(x)\ni\tilde{y}.$ Множества $ X ,Y$ наделяются  векторными метриками $\mathcal{P}_X^{E_+}$  и $\mathcal{P}_Y^{M_+},$  имеющими значения в конусах $E_+, M_+$ банахова пространства $E$ и линейного топологического пространства $M.$ Рассматриваемое включение сравнивается с "модельным" уравнением $f(t)=0$ с отображением $f: E_+ \to M .$ Предполагается, что $f$ можно записать в виде  $f(t)\equiv g(t,t),$ где отображение $g:{E}_+ \times {E}_+ \to M$ является упорядоченно накрывающим множество $\{0\}\subset M$ по первому аргументу, антитонным по второму аргументу и $-g(0,0)\in M_+.$ Показано, что в этих условиях уравнение $f(t)=0$ имеет решение $t^*\in E_+.$ А если еще для некоторого $x_0$ выполнены предлагаемые в работе условия связи между $f(0)$ и $F(x_0),$  а также между приращениями значений $f(t)$ при $t\in [0,t^*]$ и приращениями значений $F(x)$ при всех $x$ из шара с центром в $x_0$ радиуса $t^*,$ то в этом шаре рассматриваемое включение имеет решение. Полученные в работе результаты об операторном включении применяются к исследованию интегрального включения.

Ключевые слова: операторное включение, существование и оценки решений, интегральное включение, векторное метрическое пространство

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1959. 211 с.

2.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

3.   Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary differential equations: Dynamical solutions. London: Gordon and Breach, 1995. 625 p.

4.   Кряжимский А.В., Максимов В.И. О сочетании процессов реконструкции и гарантирующего управления // Автоматика и телемеханика. 2013. Вып. 8. C. 5–21.

5.   Хлопин Д.В., Ченцов А.Г. Об одной задаче управления с неполной информацией: квазистратегии и процедуры управления с моделью // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 12. C. 1652–1666.

6.   Пилия А.Д., Федоров В.И. Особенности поля электромагнитной волны в холодной анизотропной плазме с двумерной неоднородностью // Журнал эксперимент. и теорет. физики. 1971. Т. 60, № 1. С. 389–399.

7.   Давыдов А.А. Особенности предельных направлений типичных неявных ОДУ высших порядков // Тр. МИАН. 2002. Т. 236. С. 134–141.

8.   Власенко Л.А., Руткас А.Г. О дифференциальной игре в системе, описываемой неявным дифференциально-операторным уравнением // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 6. С. 785–795. doi: 10.1134/S0374064115060114

9.   Канторович Л.В. Некоторые дальнейшие применения метода Ньютона // Вестн. Ленинград. университета. 1957. № 7. С. 68–103.

10.   Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

11.   Zubelevich O. Coincidence points of mappings in Banach spaces // Fixed Point Theory. 2020. Vol. 21, no. 1. P. 389–394. doi: 10.24193/fpt-ro.2020.1.27

12.    Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. Теорема Канторовича о неподвижных точках в метрических пространствах и точки совпадения // Тр. МИАН. 2019. Т. 304. С. 68–82. doi: 10.4213/tm3962

13.   Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. On the stability of fixed points and coincidence points of mappings in the generalized Kantorovichs theorem // Topology Appl. 2020. Vol. 275. doi: 10.1016/j.topol.2019.107030

14.   Жуковский Е.С. О методе сравнения в исследовании уравнений в метрических пространствах // Мат. заметки. 2020. Т. 108, № 5. C. 702–713. doi: 10.4213/mzm12664

15.   Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E., Zhukovskaya Z.T. Kantorovich’s fixed point theorem and coincidence point theorems for mappings in vector metric spaces // Set-Valued Var. Anal. 2022. Vol. 30. P. 397–423. doi: 10.1007/s11228-021-00588-y

16.   Zhukovskiy E., Panasenko E. Extension of the Kantorovich theorem to equations in vector metric spaces: applications to functional differential equations // Mathematics. 2024. Vol. 12, no. 1. Art. no. 64. P. 1–17. doi:10.3390/math12010064

17.   Перов А.И. Многомерная версия принципа обобщенного сжатия М. А. Красносельского // Функц. анализ и его приложения. 2010. Т. 44, № 1. С. 83–87. doi: 10.4213/faa2953

18.   Жуковский Е.С. О точках совпадения векторных отображений // Изв. вузов. Математика. 2016. № 10. С. 14–28.

19.   Жуковский Е.С. О точках совпадения многозначных векторных отображений метрических пространств // Мат. заметки. 2016. Т. 100, № 3. С. 344–362. doi: 10.4213/mzm10675

20.   Жуковский Е.С. О возмущениях векторно накрывающих отображений и системах уравнений в метрических пространствах // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 2. C. 297–311. doi: 10.17377/smzh.2016.57.206

21.   Panasenko E.A. On operator inclusions in spaces with vector-valued metrics // Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.) 2023. Vol. 323, Suppl 1. S222–S242. doi: 10.1134/S0081543823060196

22.   Фоменко Т.Н., Ястребов К.С. Метод поиска нулей функционалов в коническом метрическом пространстве и вопросы его устойчивости // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 2020. № 2. С. 8–15.

23.   Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 511 с.

24.   Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology Appl. 2015. Vol. 179, no. 1. P. 13–33. doi: 10.1016/j.topol.2014.08.013

25.   Жуковская Т.В., Филиппова О.В., Шиндяпин А.И. О распространении теоремы Чаплыгина на дифференциальные уравнения нейтрального типа // Вестник российских университетов. Математика. 2019. Т. 24, вып. 127. С. 272–280. doi: 10.20310/2686-9667-2019-24-127-272-280

26.   Жуковская Т.В., Жуковский Е.С., Серова И.Д. Некоторые вопросы анализа отображений метрических и частично упорядоченных пространств // Вестник российских университетов. Математика. 2020. T. 25, вып. 132. C. 345–358. doi: 10.20310/2686-9667-2020-25-132-345-358

27.   Burlakov E.O., Panasenko E.A., Serova I.D., Zhukovskiy E.S. On order covering set-valued mappings and their applications to the investigation of implicit differential inclusions and dynamic models of economic processes // Advances in Systems Science and Applications. 2022. Vol. 22, no. 1. P. 176–191. doi: 10.25728/assa.2022.22.1.1225

28.   Серова И.Д. Исследование краевой задачи для дифференциального включения // Вестник российских университетов. Математика. 2023. Т. 28, вып. 144. C. 395–405. doi: 10.20310/2686-9667-2023-28-144-395-405

29.   Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: ЛИБРОКОМ, 2011. 224 с.

Поступила 15.02.2024

После доработки 26.02.2024

Принята к публикации 4.03.2024

Жуковский Евгений Семенович
д-р физ.-мат. наук, профессор
директор НИИ математики, физики и информатики
Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина
г. Тамбов
e-mail: zukovskys@mail.ru

Панасенко Елена Александровна
канд. физ.-мат. наук, доцент
зав. кафедрой функционального анализа
Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина
г. Тамбов
e-mail: panlena_t@mail.ru

Ссылка на статью: Е.С. Жуковский, Е.А. Панасенко.  Метод сравнения с модельным уравнением в исследовании включений в векторных метрических пространствах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 2. С. 68-85

English

E.S. Zhukovskiy, E.A. Panasenko. The method of comparison with a model equation in the study of inclusions in vector metric spaces

For a given multivalued mapping $F:X\rightrightarrows Y$ and a given element $\tilde{y}\in Y$, the existence of a solution $x\in X$ to the inclusion $F(x)\ni\tilde{y}$ and its estimates are studied. The sets $X$ and~$Y$ are endowed with vector metrics $\mathcal{P}_X^{E_+}$ and $\mathcal{P}_Y^{M_+}$, whose values belong to cones $E_+$ and $M_+$ of a Banach space $E$ and a linear topological space $M$, respectively. The inclusion is compared with a "model" equation $f(t)=0$, where $f:E_+\to M$. It is assumed that $f$ can be written as $f(t)\equiv g(t,t)$, where the mapping $g:{E}_+\times{E}_+\to M$ orderly covers the set $\{0\}\subset M$ with respect to the first argument and is antitone with respect to the second argument and $-g(0,0)\in M_+$. It is shown that in this case the equation $f(t)=0$ has a solution $t^*\in E_+$. Further, conditions on the connection between $f(0)$ and $F(x_0)$ and between the increments of $f(t)$ for $t\in [0,t^*]$ and the increments of $F(x)$ for all $x$ in the ball of radius $t^*$ centered at $x_0$ for some $x_0$ are formulated, and it is shown that the inclusion has a solution in the ball under these conditions. The results on the operator inclusion obtained in the paper are applied to studying an integral inclusion.

Keywords: operator inclusion, existence and estimates of solutions, integral inclusion, vector metric space

Received February 15, 2024

Revised February 26, 2024

Accepted March 4, 2024

Funding Agency: The work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 24-21-00272), https://rscf.ru/project/24-21-00272/.

Evgeny Semenovich Zhukovskiy, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Scientific Research Institute of Mathematics, Physics, and Computer Science, Derzhavin Tambov State University, Tambov, 392000 Russia, e-mail: zukovskys@mail.ru

Elena Aleksandrovna Panasenko, Cand. Phys.-Math. Sci., Docent, Functional Analysis Department, Derzhavin Tambov State University, Tambov, 392000 Russia, e-mail: panlena_t@mail.ru

Cite this article as: E.S. Zhukovskiy, E.A. Panasenko. The method of comparison with a model equation in the study of inclusions in vector metric spaces. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 2, pp. 68–85.

[References -> on the "English" button bottom right]