А.Л. Казаков. Решения c нулевым фронтом для квазилинейного параболического уравнения теплопроводности ... С. 86-102

УДК 517.957

MSC: 35K10, 35K57, 35K67

DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-2-86-102

Исследования выполнены в рамках госзадания Минобрнауки России по проекту “Аналитические и численные методы математической физики в задачах томографии, квантовой теории поля и механике жидкости и газа” (№ гос. регистрации: 121041300058-1).

Рассматривается нелинейное эволюционное уравнение второго порядка, которое в отечественной литературе именуется нелинейным (квазилинейным) уравнением теплопроводности с источником (стоком), а в зарубежной — "the generalized porous medium equation", в случае, когда размерность задачи произвольная, но имеет место центральная (осевая) симметрия, т. е. искомая функция зависит от времени $t$ и расстояния $\rho$ до некоторой точки (прямой). Изучаются нетривиальные решения, которые имеют нулевой фронт и описывают возмущения, распространяющиеся по покоящемуся (абсолютно холодному) фону с конечной скоростью. Доказывается новая теорема существования и единственности решения с искомыми свойствами с построением его в виде специального ряда с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами, причем для раскрытия особенности в точке $\rho=0$ применяется вырожденная замена независимых переменных. Обосновано утверждение, являющееся аналогом примера С.В. Ковалевской в рассмотренном случае. Получены условия, при выполнении которых коэффициенты построенных рядов являются константами, т. е. исходная задача редуцируется  к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения с особенностью перед старшей производной. Проводится исследование свойств последнего с использованием методов мажорант и качественного анализа дифференциальных уравнений. Выполняется интерпретация полученных результатов с точки зрения исходной задачи.

Ключевые слова: нелинейные уравнения с частными производными, параболическое уравнение теплопроводности, вырождение, начально-краевая задача, теорема существования и единственности, ряд, сходимость, метод мажорант, точное решение, качественное исследование обыкновенных дифференциальных уравнений

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

2.   Галактионов В.А., Дородницын В.А., Еленин Г.Г., Курдюмов С.П., Самарский А.А. Квазилинейное уравнение теплопроводности с источником: обострение, локализация, симметрия, точные решения, асимптотики, структуры // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж. 1986. Т. 28. С. 95–205.

3.   Vazquez J. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. Clarendon Press: Oxford, 2007. 624 p. doi: 10.1093/acprof:oso/9780198569039.001.0001 

4.   Boussinesq J. Essai sur la theorie des eaux courantes. Paris: Imprimerie Nationale, 1877. 666 p.

5.   Ковалев В.А., Куретова Е.Д., Куркина Е.С. О формировании нитеподобных структур на ранней фазе солнечных вспышек // Физика плазмы. 2020. Т. 46. № 4. С. 351–357.

6.   Murray J.D. Mathematical biology II: Spatial models and biomedical applications. Interdisciplinary Appl. Math. Vol. 18. NY: Springer, 2003. 837 p.

7.   Баренблатт Г.И., Ентов В.Н., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. 211 с.

8.   Шагапов В.Ш., Мухаметшин С.М., Галиаскарова Г.Р. Распространение тяжелых атмосферных выбросов с учетом ландшафта местности // Инженерно-физический журнал. 2005. Т. 78, № 2. С. 99–103.

9.   Filimonov M.Yu., Kamnev Ya.K., Shein A.N., Vaganova N.A. Modeling the temperature field in frozen soil under buildings in the city of Salekhard taking into account temperature monitoring // Land. 2022. Vol. 11, iss. 7. P. 1102. doi: 10.3390/land11071102 

10.   Андреев В.К., Гапоненко Ю.А., Гончарова О.Н., Пухначев В.В. Cовременные математические модели конвекции. М.: Физматлит, 2008. 368 c.

11.   Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. 480 с.

12.    Svirshchevskii S.R. Exact solutions of a nonlinear diffusion equation on polynomial invariant subspace of maximal dimension // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2022. Vol. 112. Art. no. 106515. doi: 10.1016/j.cnsns.2022.106515 

13.   Сидоров А.Ф. Избранные труды: Математика. Механика. М.: Физматлит. 2001. 576 с.

14.   DiBenedetto E. Degenerate parabolic equations. NY: Springer-Verlag, 1993. 388 p. doi: 10.1007/978-1-4612-0895-2 

15.   Зельдович Я.Б., Компанеец А.С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры // Сборник, посвященный 70-летию А.Ф. Иоффе. 1950. С. 61–71.

16.   Коврижных О.О. О построении асимптотического решения нелинейного вырождающегося параболического уравнения // Журнал выч. мат. и мат. физ. 2003. Т. 43, № 10. С. 1487–1493.

17.   Ваганова Н.А. Построение новых классов решений нелинейного уравнения фильтрации с помощью специальных согласованных рядов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2003. Т. 9, № 2. C. 10–20.

18.   Баутин С.П. Аналитическая тепловая волна. М.: Физматлит, 2003. 88 с.

19.   Казаков А.Л. О точных решениях краевой задачи о движении тепловой волны для уравнения нелинейной теплопроводности // Сиб. электрон. мат. известия. 2019. Т. 16. С. 1057–1068. doi: 10.33048/semi.2019.16.073 .

20.   Филимонов М.Ю. Применение метода специальных рядов для построения новых классов решений нелинейных уравнений с частными производными // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 6. С. 801–808.

21.   Филимонов М.Ю. Использование метода специальных рядов для представления решений начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 8. С. 1100–1107.

22.   Filimonov M.Yu. Representation of solutions of boundary value problems for nonlinear evolution equations by special series with recurrently calculated coefficients // Journal of Physics: Conference Series. 2019. Vol. 1268. Art. no. 012071. doi: 10.1088/1742-6596/1268/1/012071 

23.   Рубина Л.И., Ульянов О.Н. Об одном методе решения уравнения нелинейной теплопроводности // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 5. С. 1091–1101.

24.   Казаков А.Л., Орлов С.С. О некоторых точных решениях нелинейного уравнения теплопроводности // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 1. С. 112–123.

25.   Казаков А.Л., Орлов Св.С., Орлов С.С. Построение и исследование некоторых точных решений нелинейного уравнения теплопроводности // Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59, № 3. С. 544–560. doi: 10.17377/smzh.2018.59.306 

26.   Kudryashov N.A., Sinelshchikov D.I. On the integrability conditions for a family of Liénard-type equations // Regular and Chaotic Dynamics. 2016. Vol. 21, no. 5. P. 548–555. doi: 10.1134/S1560354716050063 

27.   Kazakov A.L., Kuznetsov P.A., Lempert A.A. Analytical solutions to the singular problem for a system of nonlinear parabolic equations of the reaction-diffusion type // Symmetry. 2020. Vol. 12, № 6. P. 999. doi: 10.3390/SYM12060999 

28.   Kazakov A., Lempert A. Multidimensional diffusion-wave-type solutions to the second-order evolutionary equation // Mathematics. 2024. Vol. 12, no. 2. Art. no. 354. doi: 10.3390/math12020354 

29.   Козлов В.В. Софья Ковалевская: математик и человек // Успехи мат. наук. 2000. Т. 55, № 6. P. 159–172. doi: 10.4213/rm353 

30.   Kazakov A. Solutions to nonlinear evolutionary parabolic equations of the diffusion wave type // Symmetry. 2021. Vol. 13, № 5. P. 871. doi: 10.3390/sym13050871 

31.   Казаков А.Л., Лемперт А.А. Точные решения типа диффузионных волн для нелинейного вырождающегося параболического уравнения второго порядка // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. С. 114–128. doi: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-114-128 .

32.   Курант Р. Уравнения с частными производными. Т. 2. М.: Мир, 1964. 830 с.

33.   Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1987. 432 с.

34.   Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Определения, теоремы, формулы. М.: Лань, 2003. 832 с.

35.   Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука. 1990. 488 с.

36.   Kazakov A.L., Lempert A.A. Diffusion-wave type solutions to the second-order evolutionary equation with power nonlinearities // Mathematics. 2022. Vol. 10, № 2. P. 232. doi: 10.3390/math10020232 

Поступила 23.04.2024

После доработки 8.05.2024

Принята к публикации 13.05.2024

Казаков Александр Леонидович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор РАН
гл. науч. сотрудник
Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН
г. Иркутск
e-mail: kazakov@icc.ru

Ссылка на статью: А.Л. Казаков. Решения c нулевым фронтом для квазилинейного параболического уравнения теплопроводности //Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 2. С. 86-102

English

A.L. Kazakov. Solutions with a zero front to the quasilinear parabolic heat equation

The paper considers a nonlinear second-order evolution equation known as the nonlinear (quasilinear) heat equation with a source (sink) and also as the generalized porous medium equation. We deal with the case of an arbitrary dimension, and there is central (axial) symmetry. In other words, the unknown function depends on time $t$ and the distance $\rho$ to some point (straight line). The study concerns nontrivial solutions with a zero front that describe disturbances propagating over a stationary (cold) background with a finite velocity. A new theorem for the existence and uniqueness of a solution with the desired properties is proved. It allows one to construct the solution as a special series with recursively calculated coefficients and to cancel the singularity at the point $\rho=0$ by a degenerate change of independent variables. For the considered problem, an analog of S.V. Kovalevskaya's example is presented. We obtain conditions which ensure that the coefficients of the constructed series are constants; i.e., the original problem is reduced to the integration of an ordinary differential equation with a singularity in the factor at the highest derivative. The properties of the ordinary differential equation are studied using majorant methods and qualitative analysis. The results obtained are interpreted from the point of view of the original problem.

Keywords: nonlinear partial differential equations, generalized porous medium equation, degeneration, initial–boundary value problem, existence and uniqueness theorem, series, convergence, majorant method, exact solution, qualitative analysis of ordinary differential equations

Received April 23, 2024

Revised May 8, 2024

Accepted May 13, 2024

Funding Agency: This work was supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation within the project “Analytical and numerical methods of mathematical physics in problems of tomography, quantum field theory, and fluid mechanics” (state registration no. 121041300058-1).

Alexander Leonidovich Kazakov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Irkutsk, 664033 Russia, e-mail: kazakov@icc.ru

Cite this article as: A.L. Kazakov. Solutions with a zero front to the quasilinear parabolic heat equation. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 2, pp. 86–102.

[References -> on the "English" button bottom right]