УДК 517.9
MSC: 49K27, 49N15, 47A52, 90C46, 90C25
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-2-203-221
Результаты исследований автора, представленные в разд. 1–3, получены за счет гранта Российского научного фонда № 23-11-20020, https://rscf.ru/project/23-11-20020/; результаты исследований, представленные в разд. 4, получены за счет гранта Министерства образования и науки Тамбовской области № 2-ФП-2023.
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S194-S211. (Abstract)
Рассматривается регуляризация правила множителей Лагранжа (ПМЛ) в недифференциальной форме в выпуклой задаче на условный экстремум с операторным ограничением-равенством в гильбертовом пространстве и конечным числом функциональных ограничений-неравенств. Целевой функционал задачи предполагается сильно выпуклым, а выпуклое замкнутое множество ее допустимых элементов также принадлежит гильбертову пространству. Ограничения задачи содержат аддитивно входящие в них параметры, что обеспечивает возможность применения для ее исследования так называемого метода возмущений. Основное предназначение регуляризованного ПМЛ — устойчивое генерирование обобщенных минимизирующих последовательностей (ОМП), аппроксимирующих посредством экстремалей регулярного функционала Лагранжа точное решение задачи. Само же регуляризованное ПМЛ можно трактовать как ОМП-образующий (регуляризирующий) оператор, который каждому набору исходных данных задачи на условный экстремум ставит в соответствие экстремаль ее отвечающего этому набору регулярного функционала Лагранжа, двойственная переменная в котором генерируется в соответствии с той или иной процедурой стабилизации двойственной задачи. Главное внимание в статье уделяется: 1) изучению связи процедуры двойственной регуляризации с субдифференциальными свойствами функции значений исходной задачи; 2) доказательству сходимости этой процедуры в случае разрешимости двойственной задачи; 3) соответствующему обновлению регуляризованного ПМЛ; 4) получению классического ПМЛ как предельного варианта его регуляризованного аналога.
Ключевые слова: выпуклая задача на условный экстремум, правило множителей Лагранжа, регуляризация, метод возмущений, функция значений, субдифференциал, двойственная задача, обобщенная минимизирующая последовательность, регуляризирующий алгоритм
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 432 с.
2. Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. М.: Наука, 1986. 192 с.
3. Аваков Е.Р., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. О принципе Лагранжа в задачах на экстремум при наличии ограничений // Успехи мат. наук. 2013. Т. 68. Вып. 3(411). С. 5–38. doi: 10.4213/rm9525
4. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. On the Lagrange multiplier rule for minimizing sequences // Eurasian Math. J. 2023. Vol. 14, no. 1. P. 8–15. doi: 10.32523/2077-9879-2023-14-1-08-15
5. Tröltzsch F. Optimal control of partial differential equations. Providence, Rhode Island: AMS, 2010. 408 p. (Ser. Theory, Methods and Applications. Graduate Studies in Mathematics; vol. 112). doi: 10.1090/gsm/112
6. Borzi A. The sequential quadratic Hamiltonian method. Solving optimal control problems. Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC Press, 2023. 266 p. doi: 10.1201/9781003152620
7. Сумин М.И. Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении и обратных задачах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. C. 279–296. doi: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-279-296
8. Васильев Ф.П. Методы оптимизации: в 2-х кн. Москва: МЦНМО, 2011. 1056 с.
9. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 224 с.
10. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 208 с.
11. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989. 200 с.
12. Кокурин М.Ю. Элементы общей теории регуляризации некорректных задач. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2023. 356 с.
13. Сумин М.И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47, № 4. С. 602–625.
14. Сумин М.И. Регуляризованная параметрическая теорема Куна — Таккера в гильбертовом пространстве // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2011. Т. 51, № 9. С. 1594–1615.
15. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971. 352 с.
16. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.
17. Сумин М.И. О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптимального управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 2. C. 252–269. doi: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-252-269 .
18. Тихонов А.Н. Об устойчивости задачи оптимизации функционалов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1966. Т. 6, № 4. С. 631–634.
19. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. Москва: Мир, 1988. 264 с.
20. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.
21. Borwein J.M., Strojwas H.M. Proximal analysis and boundaries of closed sets in Banach space, Part I: Theory // Can. J. Math. 1986. vol. 38, no. 2. pp. 431–452; Part II: Applications // Can. J. Math. 1987. vol. 39, no. 2. pp. 428–472.
22. Loewen P.D. Optimal control via nonsmooth analysis. Providence, RI: AMS, 1993. 153 p. (Ser. CRM Proceedings and Lecture Notes; vol. 2.) doi: 10.1090/crmp/002
23. Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P.R. Nonsmooth analysis and control theory. NY: Springer-Verlag, 1998. 278 p. (Ser. Graduate texts in mathematics; vol. 178). doi: 10.1007/b97650
24. Sumin M.I. Suboptimal control of systems with distributed parameters: minimizing sequences, value function, regularity, normality // Control and Cybernetics. 1996. vol. 25, no. 3. P. 529–552.
25. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. M.: Мир, 1988. 512 с.
26. Сумин М.И. Недифференциальные теоремы Куна–Таккера в задачах на условный экстремум и субдифференциалы негладкого анализа // Вестн. российских университетов. Математика. 2020. Т. 25, вып. 131. С. 307–330. doi: 10.20310/2686-9667-2020-25-131-307-330
27. Ekeland I. On the variational principle // J. Math. Anal. Appl. 1974. Vol. 47, no. 2. P. 324–353.
Поступила 10.02.2024
После доработки 28.02.2024
Принята к публикации 4.03.2024
Сумин Михаил Иосифович
д-р физ.-мат. наук, профессор
главный науч. сотрудник
Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина
г. Тамбов
e-mail: m.sumin@mail.ru
Ссылка на статью: М.И. Сумин. Метод возмущений и регуляризация правила множителей Лагранжа в выпуклых задачах на условный экстремум // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 2. С. 203-221
English
M.I. Sumin. The perturbation method and a regularization of the Lagrange multiplier rule in convex problems for constrained extremum
We consider a regularization of the Lagrange multiplier rule (LMR) in the nondifferential form in a convex problem for constrained extremum with an operator equality-constraint in a Hilbert space and a finite number of functional inequality-constraints. The objective functional of the problem is assumed to be strongly convex, and the convex closed set of its admissible elements also belongs to a Hilbert space. The constraints of the problem contain additively included parameters, which makes it possible to use the so-called perturbation method to study it. The main purpose of the regularized LMR is the stable generation of generalized minimizing sequences (GMSs), which approximate the exact solution of the problem using extremals of the regular Lagrange functional. The regularized LMR itself can be interpreted as a GMS-generating (regularizing) operator, which assigns to each set of input data of the constrained extremum problem the extremal of its corresponding regular Lagrange functional, in which the dual variable is generated in accordance with one or another procedure for stabilizing the dual problem. The main attention is paid to: (1) studying the connection between the dual regularization procedure and the subdifferential properties of the value function of the original problem; 2) proving the convergence of this procedure in the case of solvability of the dual problem; (3) an appropriate update of the regularized LMR; (4) obtaining the classical LMR as a limiting version of its regularized analog.
Keywords: convex problem for constrained extremum, Lagrange multiplier rule, regularization, perturbation method, value function, subdifferential, dual problem, generalized minimizing sequence, regularizing algorithm
Received February 10, 2024
Revised February 28, 2024
Accepted March 4, 2024
Funding Agency: The work on the results presented in Sections 1–3 was supported by the Russian Science Foundation (project no. 23-11-20020, https://rscf.ru/project/23-11-20020/), and the work on the results presented in Section 4 was supported by the Ministry of Education and Science of the Tambov oblast (grant no. 2-FP-2023).
Mikhail Iosifovich Sumin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Chief Researcher, Derzhavin Tambov State University, Tambov, 392000 Russia, e-mail: m.sumin@mail.ru
Cite this article as: M.I. Sumin. The perturbation method and a regularization of the Lagrange multiplier rule in convex problems for constrained extremum. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 2, pp. 203–221. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S194-S211.
[References -> on the "English" button bottom right]
