УДК 517.977+517.23
MSC: 34A08, 93C05, 93C41, 93B50
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-2-222-242
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 21-71-10070, https://rscf.ru/project/21-71-10070/ .
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S212-S230. (Abstract)
Для линейной управляемой динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями с дробной производной типа Капуто, рассмотрена задача гарантированного позиционного наведения на заданное множество в заданный момент времени. Начальное состояние априори неизвестно, но принадлежит конечному заданному множеству. Информация о положении системы поступает в режиме онлайн в виде сигнала наблюдения. Анализ разрешимости задачи наведения для рассматриваемой управляемой системы проводится с помощью метода пакетов программ Осипова — Кряжимского. В работе приведен краткий обзор результатов, в которых метод пакетов программ развивается или используется в задачах наведения для различных классов систем. Данный метод позволяет связать условие разрешимости задачи гарантированного позиционного наведения для исходной системы с условием разрешимости задачи программного наведения для специальной расширенной системы. Следуя технике метода пакетов программ, мы выводим критерий разрешимости поставленной задачи наведения для системы дробного порядка. В случае разрешимости задачи приводим специальную процедуру построения наводящего пакета программ. Разработанная техника анализа задачи гарантированного позиционного наведения и построения гарантирующего управления при неизвестном начальном состоянии системы иллюстрируется на примере конкретной линейной механической управляемой системы с дробной производной Капуто.
Ключевые слова: управление, неполная информация, линейные системы, дробная производная Капуто
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.
2. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. NY: Elsevier Science, 2006. 540 p.
3. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.
4. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
5. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 c.
6. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
7. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Applications of fractional calculus to dynamic problem linear and nonlinear hereditary mechanics of solids // Appl. Mech. Rev. 1997. Vol. 50, no. 1. P. 15–67. doi: 10.1115/1.3101682
8. Tarasov V.E. Geometric interpretation of fractional-order derivative // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2016. Vol. 19, no. 5. P. 1200–1221. doi: 10.1515/fca-2016-0062
9. Uchaikin V.V. Fractional derivatives for physicists and engineers: vol. I: Background and theory; vol. II: Applications. Heidelberg: Springer, 2013. 385 p. doi: 10.1007/978-3-642-33911-0
10. Мачтакова А.И., Петров Н.Н. О двух задачах преследования группы убегающих в дифференциальных играх с дробными производными // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьют. науки. 2024. Т. 34, № 1. C. 65–79. doi: 10.35634/vm240105
11. Gomoyunov M.I. Fractional derivatives of convex Lyapunov functions and control problems in fractional order systems // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2018. Vol. 21, no. 5. P. 1238–1261. doi: 10.1515/fca-2018-0066
12. Matychyn I., Onyshchenko V. Time-optimal control of linear fractional systems with variable coefficients // Internat. J. Appl. Math. Comp. Sci. 2021. Vol. 31, no. 3. P. 375–386. doi: 10.34768/amcs-2021-0025
13. Осипов Ю.С. Пакеты программ: подход к решению задач позиционного управления с неполной информацией // Успехи мат. наук. 2006. Т. 61, № 4 (370). С. 25–76. doi: 10.4213/rm1760
14. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. Идеализированные пакеты программ и задачи позиционного управления с неполной информацией // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15, № 3. C. 139–157.
15. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О разрешимости задач гарантирующего управления для частично наблюдаемых линейных динамических систем // Тр. МИАН. 2012. Т. 277. C. 152–167.
16. Кряжимский А.В., Стрелковский Н.В. Программный критерий разрешимости задачи позиционного наведения с неполной информацией. Линейные управляемые системы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 3. C. 132–147.
17. Кряжимский А.В., Стрелковский Н.В. Задача гарантированного позиционного наведения линейной управляемой системы к заданному моменту времени при неполной информации. Программный критерий разрешимости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 4. C. 168–177.
18. Стрелковский Н.В. Построение стратегии гарантированного позиционного наведения для линейной управляемой системы при неполной информации // Вестн. Москов. ун-та. Сер. 15. Вычисл. математика и кибернетика. 2015. № 3. С. 27–34.
19. Максимов В.И., Сурков П.Г. О разрешимости задачи гарантированного пакетного наведения на систему целевых множеств // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьют. науки. 2017. Т. 27, № 2. C. 344–354. doi: 10.20537/vm170305
20. Орлов С.М. Об одном классе расширенных задач программного управления на целевое множество // Вестн. Москов. ун-та. Сер. 15. Вычисл. математика и кибернетика. 2018. № 1. С. 6–16.
21. Орлов С.М., Стрелковский Н.В. Вычисление элементов наводящего пакета программ для особых кластеров множества начальных состояний в задаче пакетного наведения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. C. 150–165.
doi: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-150-165
22. Стрелковский Н.В., Орлов С.М. Алгоритм построения гарантирующего пакета программ в задаче управления при неполной информации // Вестн. Москов. ун-та. Сер. 15. Вычисл. математика и кибернетика. 2018. № 2. С. 20–31.
23. Сурков П.Г. Задача пакетного наведения с неполной информацией при интегральном сигнале наблюдения // Сиб. электрон. мат. изв. 2018. Т. 15. C. 373–388. doi: 10.17377/semi.2018.15.034
24. Surkov P.G. On the problem of package guidance for nonlinear control system via fuzzy approach // IFAC-PapersOnLine. 2018. Vol. 51, no. 32. P. 733–738. doi: 10.1016/j.ifacol.2018.11.459
25. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. 1985. Vol. SMC-15, no. 1. P. 116–132. doi: 10.1109/TSMC.1985.6313399
26. Максимов В.И. Дифференциальная игра наведения при неполной информации о фазовых координатах и неизвестном начальном состоянии // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 12. C. 1676–1685.
27. Максимов В.И. Об одной задаче гарантированного наведения при неполной информации // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 2. C. 199–210. doi: 10.21538/0134-4889-2016-22-2-199-210
28. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Методы динамического восстановления входов управляемых систем. Екатеринбург: Изд-во ИММ УрО РАН, 2011. 292 c.
29. Максимов В.И. Задача наведения распределенной системы: случай неполной информации о фазовых координатах и неизвестном начальном состоянии // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 11. C. 1495–1505. doi: 10.1134/S0374064116110066
30. Розенберг В.Л. Об одной задаче управления при дефиците информации для линейного стохастического дифференциального уравнения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 3. C. 292–302.
31. Близорукова М.С. Об одной задаче управления линейной системой с запаздыванием в управлении // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 2. C. 55–62. doi: 10.21538/0134-4889-2016-22-2-55-62
32. Сурков П.Г. О задаче пакетного наведения с неполной информацией для линейной управляемой системы с запаздыванием // Проблемы динамического управления : cб. науч. тр. под ред. Ю.С. Осипова / фак. ВМК МГУ им. М. В. Ломоносова. № 7. М.: Изд. отдел фак-та ВМиК МГУ; МАКС Пресс, 2016. С. 94–108.
33. Сурков П.Г. Задача пакетного наведения к заданному моменту времени для линейной управляемой системы с запаздыванием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 2. C. 267–276. doi: 10.21538/0134-4889-2016-22-2-267-276
34. Григоренко Н.Л., Румянцев А.Е. Об одном классе задач управления при неполной информации // Тр. МИАН. 2015. Т. 291. C. 76–85. doi: 10.21538/0134-4889-2016-22-2-113-121
35. Григоренко Н.Л., Кондратьева Ю.А., Лукьянова Л.Н. Задача нахождения гарантирующего программного управления при неполной информации для линейной системы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 2. C. 41–49.
36. Григоренко Н.Л., Румянцев А.Е. Терминальное управление нелинейным процессом при наличии помех // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 2. C. 113–121. doi: 10.21538/0134-4889-2016-22-2-113-121
37. Bourdin L. Cauchy–Lipschitz theory for fractional multi-order dynamics: State-transition matrices, Duhamel formulas and duality theorems // Differential and Integral Equations. 2018. Vol. 31, no. 7/8. P. 559–594. doi: 10.57262/die/1526004031
38. Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S.V. Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications. Berlin: Springer-Verlag, 2014. 454 p.
39. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.
40. Balachandran K., Kokila J.Y. On the controllability of fractional dynamical systems // Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. 2012. Vol. 22, no. 3. P. 523–531. doi: 10.2478/v10006-012-0039-0
41. Kulczycki P., Korbicz J., Kacprzyk J. Fractional dynamical systems: methods, algorithms and applications. Cham: Springer, 2022. 397 p. doi: 10.1007/978-3-030-89972-1
42. Matignon D., d’Andréa-Novel B. Some results on controllability and observability of finite-dimensional fractional differential systems // Computational Engineering in Systems Applications. Citeseer, 1996. Vol. 2. P. 952–956.
43. Matychyn I., Onyshchenko V. Optimal control of linear systems with fractional derivatives // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2018. Vol. 21, no. 1. P. 134–150. doi: 10.1515/fca-2018-0009
44. Gorenflo R., Vessella S. Abel Integral Equations: Analisys and Applications. Berlin: Springer, 1991. 222 p. doi: 10.1007/BFb0084665
45. Agarwal O.P. A new Lagrangian and a new Lagrange equation of motion for fractionally damped systems // J. Appl. Mech. 2001. Vol. 68, no. 2. pp. 339–341. doi: 10.1115/1.1352017
46. Monje C.A., Chen Y., Vinagre B.M., Xue D., Feliu V. Fractional-order systems and controls: Fundamentals and applications. London: Springer-Verlag, 2014. 415 p. doi: 10.1007/978-1-84996-335-0
Поступила 15.04.2024
После доработки 02.05.2024
Принята к публикации 06.05.2024
Сурков Платон Геннадьевич
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
доцент
кафедра прикладной математики и механики
Институт естественных наук и математики
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: spg@imm.uran.ru
Ссылка на статью: П.Г. Сурков. Задача пакетного наведения для системы дробного порядка // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 2. С. 222-242
English
P.G. Surkov. Package guidance problem for a fractional-order system
The problem of guaranteed closed-loop guidance to a given set at a given time is studied for a linear dynamical control system described by differential equations with a fractional derivative of the Caputo type. The initial state is a priori unknown, but belongs to a given finite set. The information on the position of the system is received online in the form of an observation signal. The solvability of the guidance problem for the control system is analyzed using the method of Osipov–Kryazhimskii program packages. The paper provides a brief overview of the results that develop the method of program packages and use it in guidance problems for various classes of systems. This method allows us to connect the solvability condition of the guaranteed closed-loop guidance problem for an original system with the solvability condition of the open-loop guidance problem for a special extended system. Following the technique of the method of program packages, a criterion for the solvability of the considered guidance problem is derived for a fractional-order system. In the case where the problem is solvable, a special procedure for constructing a guiding program package is given. The developed technique for analyzing the guaranteed closed-loop guidance problem and constructing a guiding control for an unknown initial state is illustrated by the example of a specific linear mechanical control system with a Caputo fractional derivative.
Keywords: control, incomplete information, linear systems, Caputo fractional derivative
Received April 15, 2024
Revised May 2, 2024
Accepted May 6, 2024
Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 21-71-10070, https://rscf.ru/project/21-71-10070/).
Platon Gennad’evich Surkov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: spg@imm.uran.ru
Cite this article as: P.G. Surkov. Package guidance problem for a fractional-order system. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 2, pp. 222–242. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, Vol. 325, Suppl. 1, pp. S212-S230.
[References -> on the "English" button bottom right]
