Н.Н. Субботина, Е.А. Крупенников. К задаче реконструкции управлений при невыпуклых ограничениях ... С. 188-202

УДК 517.977.58

MSC: 34H05, 49N45

DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-2-188-202

Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2024-1377).

Рассматривается задача реконструкции управлений для динамических детерминированных аффинно-управляемых систем. Эта задача состоит в построении по дискретным неточным замерам наблюдаемой траектории кусочно-постоянных аппроксимаций неизвестного управления, порождающего эту траекторию. Предполагается, что управления стеснены известными невыпуклыми геометрическими ограничениями. В таком случае могут возникать скользящие режимы управлений. Для описания воздействия скользящих режимов на динамику системы используется теория обобщенных управлений. Введено понятие нормального управления — управления, порождающего наблюдаемую траекторию и определяемого единственным образом. Целью задачи реконструкции является построение кусочно-постоянных аппроксимаций нормального управления, удовлетворяющих заданным невыпуклым геометрическим ограничениям. Сходимость аппроксимаций понимается в смысле слабой сходимости в пространстве $L^2$. Предложено решение задачи реконструкции управлений.

Ключевые слова: обратные задачи, реконструкция управлений, скользящие управления, невыпуклые ограничения, слабая сходимость, обобщенные управления

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary differential equations: Dynamical solutions. London: Gordon and Breach, 1995. 625 p.

2.   Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999. 237 c.

3.   Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Сер. техн. кибернетика. 1983. № 2. С. 51–60.

4.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

5.   Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Некоторые алгоритмы динамического восстановления входов. // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 1. С. 129–161.

6.   Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981. 368 с.

7.   Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1975. 230 с.

8.   Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.

9.   Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 224 c.

10.   Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. М.: Физматлит, 2004. 572 с.

11.   Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 с.

12.   Fattorini H.O. Infinite dimensional optimization and control theory. NY: Cambridge Inc., 1999. 800 p.

13.   Субботина Н.Н, Крупенников Е.А. Слабое со звездой решение задачи динамической реконструкции // Тр. МИАН. 2021. Т. 315. C. 247–260.

14.   Subbotina N.N., Krupennikov E.A. Variational Approach to Construction of Piecewise-Constant Approximations of the Solution of Dynamic Reconstruction Problem // Differential Equations, Mathematical Modeling and Computational Algorithms / ed. Vladimir Vasilyev. Cham: Springer, 2023. P. 227–242. (Springer Proc. in Math. & Stat.; vol. 423.) doi: 10.1007/978-3-031-28505-9_16

15.   Subbotina N.N., Krupennikov E.A. Variational approach to solving control reconstruction problems // Lobachevskii J. Math. 2022. Vol. 43, no. 6. P. 1428–1437. doi: 10.1134/S1995080222090268

16.   Стрекаловский А.С. Элементы невыпуклой оптимизации. Новосибирск: Наука, 2003. 356 с.

17.   Hewitt E., Stromberg K. Real and abstract analysis. Berlin: Springer-Verlag, 1975. 490 p.

18.   Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ. 1973. 472 с. М.: Мир, 1973. 472 с.

Поступила 7.02.2024

После доработки 15.04.2024

Принята к публикации 22.04.2024

Субботина Нина Николаевна
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: subb@uran.ru

Крупенников Евгений Александрович
младший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
старший преподаватель
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: krupennikov@imm.uran.ru

Ссылка на статью: Н.Н. Субботина, Е.А. Крупенников. К задаче реконструкции управлений при невыпуклых ограничениях // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 2. С. 188-202

English

N.N. Subbotina, E.A. Krupennikov. On a control reconstruction problem with nonconvex constraints

A control reconstruction problem for dynamic deterministic affine-controlled systems is considered. This problem consists of constructing piecewise constant approximations of an unknown control generating an observed trajectory from discrete inaccurate measurements of this trajectory. It is assumed that the controls are constrained by known nonconvex geometric constraints. In this case, sliding modes may appear. To describe the impact of sliding modes on the dynamics of the system, the theory of generalized controls is used. The notion of normal control is introduced. It is a control that generates an observed trajectory and is defined in a unique way. The aim of reconstruction is to find piecewise constant approximations of the normal control that satisfy given nonconvex geometric constraints. The convergence of approximations is understood in the sense of weak convergence in the $L^2$ space. A solution to the control reconstruction problem is proposed.

Keywords: inverse problems, control reconstruction, sliding modes, nonconvex constraints, weak convergence, generalized controls

Received February 7, 2024

Revised April 15, 2024

Accepted April 22, 2024

Funding Agency: The work was performed as part of research conducted in the Ural Mathematical Center with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement number 075-02-2024-1377).

Nina Nikolaevna Subbotina, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Corresponding Member of RAS, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia,
e-mail: subb@uran.ru

Evgenii Aleksandrovitch Krupennikov, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: krupennikov@imm.uran.ru

Cite this article as: N.N. Subbotina, E.A. Krupennikov. On a control reconstruction problem with nonconvex constraints. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 2, pp. 188–202.

[References -> on the "English" button bottom right]