УДК 512.54
MSC: 20F50
DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-201-209
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект №19-01-00566 A.
Полный текст статьи (Full text)
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2021, Vol. 313, Suppl. 1, pp. S185–S193. (Abstract)
Изучаются периодические группы вида $G=F\leftthreetimes \langle a\rangle$ с условиями $C_F(a)=1$ и $|a|=4$. Отображение $a:\, F\to F$ по правилу $t\to t^a=a^{-1}ta$ есть автоморфизм группы $F$ без неподвижных точек (регулярный автоморфизм). Конечная группа $F$ разрешима, и ее коммутант нильпотентен (Д. Горенстейн и И. Херстейн,1961). Локально конечная группа $F$ разрешима, и ее второй коммутант содержится в центре $Z(F)$ группы $F$(Л.Г. Ковач, 1961). Неизвестно, всегда ли локально конечна периодическая группа $F$ (вопрос 12.100 П.В. Шумяцкого из "Коуровской тетради"). В работе доказаны следующие свойства групп. Для $\pi=\pi (F)\setminus\pi (C_F(a^2))$ группа $F$ $\pi'$-замкнута, подгруппа $O_{\pi'}(F)$ абелева и содержится в $Z([a^2,F])$ (теорема 1). Группа $F$, не имеющая бесконечных элементарных абелевых $a^2$-допустимых подгрупп, локально конечна (теорема 2). В не локально конечной группе $F$ есть не локально конечная $a$-допустимая подгруппа, факторизуемая двумя локально конечными $a$-допустимыми подгруппами (теорема 3). Для любого натурального числа $n$, кратного нечетному простому числу, указаны примеры не локально конечных периодических групп с регулярным автоморфизмом порядка $n$.
Ключевые слова: периодические группы, регулярный автоморфизм (автоморфизм без неподвижных точек), разрешимость, локальная конечность, нильпотентность
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Москва: Мир, 1985. 352 c.
2. Gorenstein D., Herstein I.N. Finite groups admitting a fixed-point-free automorphism of order 4 // Am. J. Math. 1961. Vol. 83, no. 1. P. 71–78. doi: 10.2307/2372721
3. Kovacs L.G. Groups with regular automorphisms of order four // Math Z. Vol. 75, no. 1. P. 277–294. doi: 10.1007/BF01211026
4. Burnside W. Theory of groups of finite order. 1st ed. Cambridge: University Press, 1897. 387 p.
5. Nagata M. Note on groups with involutions // Proc. Japan Acad. 1952. Vol. 28, no. 10. P. 564–566. doi: 10.3792/pja/1195570787
6. Neumann B.H. On the commutativity of addition // J. London Math. Soc. 1940. Vol. 15, no. 3. P. 203–208. doi: 10.1112/jlms/s1-15.3.203
7. Burnside W. Theory of groups of finite order. 2nd ed. Cambridge: University Press, 1911. 512 p. ISBN: 1108050328 .
8. Neumann B.H. Groups with automorphisms that leave only the neutral element fixed // Arch. Math. 1956. Vol. 7, no. 1. P. 1–5. doi: 10.1007/BF01900516
9. Журтов А. Х. О регулярных автоморфизмах порядка 3 и парах Фробениуса // Сиб. мат. журн. 2000. Vol. 52, № 2. C. 329–338.
10. Unsolved problems in group theory. The Kourovka Notebook / eds. E.I. Khukhro, V.D. Mazurov. 227 p. Available at: ArXiv:1401.0300v6 [math.GR] June 2015.
11. Fischer B. Finite groups admitting a fixed-point-free automorphism of order 2p (I) // J. Algebra. 1966. Vol. 3, no. 1. P. 99–114. doi: 10.1016/0021-8693(66)90021-4
12. Fischer B. Finite groups admitting a fixed-point-free automorphism of order 2p (II) // J. Algebra. 1967. Vol. 5, no. 1. P. 25–40. doi: 10.1016/0021-8693(67)90023-3
13. Шунков В.П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика. 1972. Т. 11, № 4. С. 470–494.
14. Кондратьев А.С. Группы и алгебры Ли. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2009. 310 с.
15. Созутов А.И., Сучков Н.М., Сучкова Н.Г. Бесконечные группы с инволюциями. Красноярск: Изд-во Сиб. федерал. ун-та, 2011. 149 c.
16. Шунков В.П. О бесконечных централизаторах в группах // Алгебра и логика. 1974. Т. 13, № 2. С. 224–226.
17. Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. Москва: Наука, 1975. 335 c.
18. Нейман Х. Многообразия групп. Москва: Мир, 1969. 264 с.
19. Холл М. Теория групп. Москва: ИЛ, 1962. 468 с.
20. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. Москва: Наука, 1977. 240 c.
21. Blackburn N. Some remarks on Cernikov p-groups // Illinois J. Math. 1962. Vol. 6, no. 3. P. 421–431. doi: 10.1215/ijm/1255632502
Поступила 13.07.2019
После доработки 30.09.2019
Принята к публикации 21.10.2019
Созутов Анатолий Ильич
д-р физ.-мат. наук, профессор
Сибирский федеральный университет, г. Красноярск
e-mail: sozutov_ai@mail.ru
Ссылка на статью: А.И. Созутов. О периодических группах с регулярным автоморфизмом порядка четыре // Тр. Ин-та математики и механики Уро РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 201-209.
English
A.I. Sozutov. On periodic groups with a regular automorphism of order 4
We study periodic groups of the form $G=F\leftthreetimes\langle a\rangle$ with the conditions $C_F(a)=1$ and $|a|=4$. In this case, a finite group~$F$ is solvable and its commutator subgroup is nilpotent (Gorenstein and Herstein, 1961), and a locally finite group~$F$ is solvable and its second commutator subgroup is contained in the center $Z(F)$ (Kovach, 1961). A locally finite group $F$ is solvable and its second commutator subgroup is contained in the center $Z(F)$ (Kovach, 1961). It is unknown whether a periodic group $F$ is always locally finite (Shumyatskii's Question 12.100 from the Kourovka Notebook). We establish the following properties of groups. For $\pi=\pi(F)\setminus\pi(C_F(a^2))$, the group $F$ is $\pi$-closed and the subgroup $O_\pi(F)$ is abelian and is contained in $Z([a^2,F])$ (Theorem 1). A group $F$ without infinite elementary abelian $a^2$-admissible subgroups is locally finite (Theorem 2). In a nonlocally finite group $F$, there is a nonlocally finite $a$-admissible subgroup factorizable by two locally finite $a$-admissible subgroups (Theorem 3). For any positive integer $n$ divisible by an odd prime, we give examples of nonlocally finite periodic groups with a regular automorphism of order $n$.
Keywords: periodic group, regular automorphism (fixed-point-free automorphism), solvability, local finiteness, nilpotency
Received July 13, 2019
Revised September 30, 2019
Accepted October 21, 2019
Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project № 19-01-00566 A).
Sozutov Anatoliy Ilich, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Siberian Federal University, Krasnoyars, 660041 Russia, e-mail: sozutov_ai@mail.ru
Cite this article as: A.I.Sozutov. On periodic groups with a regular automorphism of order 4, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 201–209; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2021, Vol. 313, Suppl. 1, pp. S185–S193.
