УДК 517.518+517.983
MSC: 47B38, 47A58, 26D10
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-4-37-54
Дано решение задачи Стечкина о наилучшем приближении на числовой оси операторов дифференцирования дробного (а точнее, вещественного) порядка $k$ в пространстве $L_2$ линейными ограниченными операторами из пространства $L$ в пространство $L_2$ на классе функций, дробная производная порядка $n$, $0\le k<n,$ которых ограничена в пространстве $L_2$. Получена оценка сверху наилучшей константы в соответствующем неравенстве Колмогорова. Показано, что в данном случае известная оценка снизу Стечкина значения задачи приближения оператора дифференцирования через наилучшую константу в неравенстве Колмогорова является строгой; другими словами, задача Стечкина и неравенство Колмогорова не согласованы.
Ключевые слова: оператор дробного дифференцирования, задача Стечкина, неравенство Колмогорова, неравенство Карлсона
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 333 с.
2. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965. 328 с.
3. Буслаев А.П., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. О существовании экстремальной функции в неравенстве для производных // Мат. заметки. 1982. Т. 32, № 6. С. 823–834.
4. Szőkefalvi-Nagy B. Über Integralunglechungen zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung // Acta Sci. Math. 1941. Vol. 10. P. 64–74.
5. Левин В.И. Точные константы в неравенствах типа Карлсона // Докл. АН СССР. 1948. Т. 59. С. 635–639.
6. Арестов В.В. Приближение линейных операторов и родственные задачи // Тр. МИАН СССР. 1975. Т. 138. С. 29–42.
7. Осипенко К.Ю. Точные неравенства Карлсона со многими весами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 4. С. 229–240. doi: 10.21538/0134-4889-2023-29-4-229-240
8. Hardy G.H., Littlewood J.E. Contribution to the arithmetic theory of series // Proc. London Math. Soc. 2. 1912. Vol. 11. P. 411–478.
9. Арестов В.В., Габушин В.Н. Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными // Изв. вузов. Математика. 1995. № 11. С. 42–68.
10. Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, № 6(312). С. 89–124. doi: 10.4213/rm1019
11. Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных и их приложения. Киев: Наук. думка, 2003. 591 c.
12. Тихомиров В.М., Магарил-Ильяев Г.Г. Неравенства для производных // А. Н. Колмогоров. Избранные тр. Математика и механика. М.: Наука, 1985. С. 387–390.
13. Колмогоров А.Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале // Избранные тр. Математика и механика. М.: Наука, 1985. С. 252–263. (Уч. зап. Моск. ун-та. Математика, кн. 3, 1939. Т. 30. С. 3–16.)
14. Arestov V.V. Inequalities for fractional derivatives on the half-line // Approx. Theory. Warsaw: PWN-Pol. Sci. Publ., 1979. С. 19–34.
15. Бабенко В.Ф., Парфинович Н.В., Пичугов С.А. Неравенства типа Колмогорова для норм производных Рисса функций многих переменных с ограниченным в $L_\infty$ лапласианом и смежные задачи // Мат. заметки. 2014. Т. 95, № 1. С. 3–17. doi: 10.4213/mzm10196
16. Babenko V., Kovalenko O., Parfinovych N. On approximation of hypersingular integral operators by bounded ones // J. Math. Anal. Appl. 2022. Vol. 513. P. 1–21. doi: 10.1016/j.jmaa.2022.126215
17. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. заметки. 1967. Т. 1, вып. 2. C. 137–148.
18. Арестов В.В. Приближение операторов, инвариантных относительно сдвига // Тр. МИАН СССР. 1975. Т. 138. С. 43–70.
19. Хермандер Л. Оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 71 с.
20. Арестов В.В., Акопян Р.Р. Задача Стечкина о наилучшем приближении неограниченного оператора ограниченными и родственные ей задачи // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, №. 4. С. 7–31. doi: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-7-31
21. Arestov V.V., Filatova M.A. Best approximation of the differentiation operator in the space $L_2$ on the semiaxis // J. Approx. Theory. 2014. Vol. 187. P. 65–81. doi: 10.1016/j.jat.2014.08.001
22. Arestov V.V. Approximation of differentiation operators by bounded linear operators in Lebesgue spaces on the axis and related problems in the spaces of (p,q)-multipliers and their predual spaces // Ural Math. J. 2023. Vol. 9, no. 2. P. 4–27. doi: 10.15826/umj.2023.2.001
23. Арестов В.В. Наилучшее приближение неограниченных операторов, инвариантных относительно сдвига, линейными ограниченными операторами // Тр. МИАН. 1992. Т. 198. С. 3–20.
24. Буслаев А.П. О приближении оператора дифференцирования // Мат. заметки. 1981. Т. 29, № 5. С. 731–742.
25. Тимошин О.А. Наилучшее приближение оператора второй смешанной производной в метриках L и C на плоскости // Мат. заметки. 1984. Т. 36, № 3. С. 369–375.
26. Тимошин О.А. Точные неравенства между нормами частных производных второго и третьего порядка // Докл. РАН. 1995. Т. 344, № 1. С. 20–22.
27. Тимофеев В.Г. Неравенство типа Ландау для функций нескольких переменных // Мат. заметки. 1985. Т. 37, № 5. С. 676–689.
28. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю., Сивкова Е.О. Оптимальное восстановление температуры трубы по неточным измерениям // Тр. МИАН. 2021. Т. 312. C. 216–223. doi: 10.4213/tm4139
29. Субботин Ю.Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение оператора дифференцирования в пространстве $L_2$ // Мат. заметки. 1968. Т. 3, № 2. С. 157–164.
Поступила 19.06.2024
После доработки 17.09.2024
Принята к публикации 23.09.2024
Арестов Виталий Владимирович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru
Ссылка на статью: В.В. Арестов. Вариант задачи Стечкина о наилучшем приближении оператора дифференцирования дробного порядка на оси // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 4. С. 37-54
English
V.V. Arestov. A variant of Stechkin’s problem on the best approximation of a fractional order differentiation operator on the axis
A solution is given to Stechkin's problem on the best approximation on the real axis of differentiation operators of fractional (more precisely, real) order $k$ in the space $L_2$ by bounded linear operators from the space $L$ to the space $L_2$ on the class of functions whose fractional derivative of order $n$, $0\le k<n,$ is bounded in the space $L_2$. An upper estimate is obtained for the best constant in the corresponding Kolmogorov inequality. It is shown that the well-known Stechkin lower estimate for the value of the problem of approximating the differentiation operator via the best constant in the Kolmogorov inequality is strict in this case; in other words, Stechkin's problem and the Kolmogorov inequality are not consistent.
Keywords: fractional order differentiation operator, Stechkin's problem, Kolmogorov inequality, Carlson inequality
Received June 19, 2024
Revised September 17, 2024
Accepted September 23, 2024
Vitalii Vladimirovich Arestov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru
Cite this article as: V.V. Arestov. A variant of Stechkin’s problem on the best approximation of a fractional order differentiation operator on the axis. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 4, pp. 37–54.
[References -> on the "English" button bottom right]
