УДК 517.982.256
MSC: 41A65
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-4-27-36
Работа выполнена в МГУ имени М.В. Ломоносова за счет гранта Российского научного фонда (проект № 22-11-00129).
Множество $M$ называется строгим солнцем, если для каждой точки $x\notin M$ множество ближайших точек $P_Mx$ из $M$ для $x$ непусто и любая точка $y\in P_Mx$ является ближайшей точкой из $M$ для любой точки $z$ из луча с началом в $y$ и проходящего через $x$. Строгие солнца иногда называют множествами Колмогорова, поскольку для них выполнен критерий Колмогорова элемента наилучшего приближения. Исследуются структурные свойства строгих солнц, составленных из конечного числа плоскостей (аффинных подпространств, возможно, вырожденных в точки). Мы всегда будем предполагать, что объединение плоскостей $M:=\bigcup L_i$ является неприводимым, т. е. никакая плоскость из объединения $\bigcup L_i$ не содержит другую. Устанавливается, что если $M :=\bigcup_{i=1}^N L_i$ — строгое солнце в нормированном пространстве, являющееся конечным неприводимым объединением плоскостей, то $M$ состоит из одной плоскости. Показывается, что условие строгой солнечности нельзя заменить на условие солнечности. В пространстве $\ell^\infty_n$ доказывается более сильный локальный аналог этого свойства. Именно, показывается, что если $M :=\bigcup_{i=1}^N L_i$ — неприводимое конечное объединение плоскостей в $\ell^\infty_n$, $\Pi$ — брус (пересечение экстремальных гиперполос), $M\cap \Pi\ne \emptyset$, то множество $M':=M\cap \Pi$ является строгим солнцем в пространстве $\ell^\infty_n$, если и только если $M'$ выпукло, т. е. $M'$ — пересечение некоторой плоскости $L_i$ с брусом $\Pi$. Как следствие, если $M :=\bigcup_{i=1}^N L_i$ — локальное строгое солнце в пространстве $\ell^\infty_n$, то $M$ состоит из одной плоскости. Аналогичные утверждения получены для множеств $M :=\bigcup_{i=1}^N L_i$ с непрерывной метрической проекцией в $\ell^\infty_n$. Полученные результаты продолжают и развивают исследования о приближении чебышёвскими множествами, составленными из объединения плоскостей, начатые автором статьи и И.Г. Царьковым, в линейных нормированных и несимметрично нормированных пространствах, а также результаты И.Г. Царькова о множествах с кусочно-непрерывной метрической проекцией.
Ключевые слова: наилучшее приближение; объединение плоскостей, солнце, строгое солнце, дискретизация
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Hegde C., Indyk P., Schmidt L. Approximation algorithms for model-based compressive sensing // IEEE Trans. Inform. Theory. 2015. Vol. 61, no. 9. P. 5129–5147. doi: 10.48550/arXiv.1406.1579
2. Ismailov V. Ridge functions and applications in neural networks. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2021. 186 p. (Ser. Math. Surveys and Monographs; vol. 263). doi: 10.1090/surv/263
3. DeVore R.A. Nonlinear approximation // Acta Numerica 1998. Vol. 7. P. 51–150. doi: 10.1017/S0962492900002816
4. Alimov A.R., Tsar’kov I.G., Chebyshev unions of planes, and their approximative and geometric properties // Approx. Theory. 2024. Vol. 298. Art. no. 106009. doi: 10.1016/j.jat.2023.106009
5. Царьков И.Г. Чебышевские множества с кусочно-непрерывной метрической проекцией // Мат. заметки. 2023. T. 113, № 6. C. 905–917. doi: 10.4213/mzm13628
6. Berens H., Hetzelt L. Die metrische Struktur der Sonnen in $\ell^\infty(n)$ // Aeq. Math. 1984. Vol. 27, no. 3. P. 274–287. doi: 10.1007/BF02192677
7. Алимов А.Р. Характеризация множеств с непрерывной метрической проекцией в пространстве $\ell^\infty_n$ // Мат. заметки. 2020. T. 108, № 3. C. 323–333. doi: 10.4213/mzm12725
8. Алимов А.Р., Царьков И.Г. Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения // Успехи мат. наук. 2016. T. 71, № 1. C. 3–84. doi: 10.4213/rm9698
9. Brosowski B., Deutsch F. Radial continuity of set-valued metric projections // J. Approx. Theory. 1974. Vol. 11, no. 3. P. 236–253. doi: 10.1016/0021-9045(74)90016-1
10. Невесенко Н.В. Строгие солнца и полунепрерывность снизу метрической проекции в линейных нормированных пространствах // Мат. заметки. 1978. T. 23, № 4. C. 563–572.
11. Царьков И.Г. Аппроксимативные свойства множеств и непрерывные выборки // Мат. сб. 2020. T. 211, № 8. C. 132–157. doi: 10.4213/sm9319
12. Царьков И.Г. Непрерывность метрической проекции, структурные и аппроксимативные свойства множеств // Мат. заметки. 1990. T. 47, № 2. C. 137–148.
13. Tsar’kov I.G. Convexity of δ-suns and γ-suns in asymmetric spaces // Russ. J. Math. Phys. 2024. Vol. 31, no. 2. P. 326–335. doi: 10.1134/S1061920824020158
14. Царьков И.Г. Непрерывные выборки из многозначных отображений и аппроксимация в несимметричных и полулинейных пространствах // Изв. РАН Сер. математическая. 2023 T. 87, № 4. C. 205–22. doi: 10.4213/im9331
15. Алимов А.Р. Выборки из метрической проекции и строгая солнечность множеств с непрерывной метрической проекцией // Мат. сб. 2017. T. 208, № 7. C. 3–18. doi: 10.4213/sm8765
16. Алимов А.Р. Выпуклость и монотонная линейная связность множеств с непрерывной метрической проекцией в трехмерных пространствах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. T. 26, № 2. C. 45–55. doi: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-28-46
17. Бородин П.А., Савинова Е.А. Всякая чебышевская кривая без самопересечений монотонна // Мат. заметки. 2024. T. 116, № 2. doi: 10.4213/mzm14311
18. Савинова E.A. Множества в $\mathbb R^n$, монотонно линейно связные в некоторой норме // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 2023. № 1. C. 53–55. doi: 10.55959/MSU0579-9368-1-2023-1-53-55
Поступила 23.06.2024
После доработки 27.08.2024
Принята к публикации 2.09.2024
Алимов Алексей Ростиславович
д-р. физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова;
Московский центр фундаментальной и прикладной математики
г. Москва
e-mail: alexey.alimov-msu@yandex.ru
Ссылка на статью: А.Р. Алимов. Строгие солнца, составленные из плоскостей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 4. С. 27-36
English
A.R. Alimov. Strict suns composed of planes
A set $M$ is a strict sun if, for each $x\notin M$, the set $P_Mx$ of best approximants from $M$ for $x$ is nonempty and each point $y\in P_Mx$ is a nearest point from $M$ for each point $z$ from the ray emanating from $y$ and passing through $x$. Strict suns are sometimes called Kolmogorov sets, because they satisfy the Kolmogorov criterion for best approximation. We study structural properties of strict suns composed of a finite number of planes (affine spaces, which may possibly degenerate to points). We always assume that the union of planes $M:=\bigcup L_i$ is irreducible, i.e., no plane in this union contains another plane from the union. We show that if an irreducible finite union of planes $M :=\bigcup_{i=1}^N L_i$ is a strict sun in a normed space, then $M$ consists of a single plane. In this result, the strict sun cannot be replaced by a sun. A stronger local analog of this result is proved in the space $\ell^\infty_n$. Namely, we show that if $M :=\bigcup_{i=1}^N L_i$ is an irreducible union of planes in $\ell^\infty_n$, $\Pi$ is a bar (intersection of extreme hyperplanes), and $M\cap \Pi\ne \emptyset$, then $M':=M\cap \Pi$ is a strict sun in $\ell^\infty_n$ if and only if $M'$ is convex, i.e., $M'$ is the intersection of some plane $L_i$ with the bar $\Pi$. As a corollary, if $M :=\bigcup_{i=1}^N L_i$ is a local strict sun in $\ell^\infty_n$, then $M$ consists of a single plane. Similar results are also established for sets $M :=\bigcup_{i=1}^N L_i$ with continuous metric projection in $\ell^\infty_n$. The present paper continues and develops the previous studies on approximation by Chebyshev sets composed of planes began by the author of the article and I.G. Tsar'kov in linear normed and asymmetrically normed spaces and the results of I.G. Tsar'kov on sets with piecewise continuous metric projection.
Keywords: best approximation, union of planes, sun, strict sun, discretization
Received June 23, 2024
Revised August 27, 2024
Accepted September 2, 2024
Funding Agency: This research was conducted at Lomonosov Moscow State University with the support of the Russian Science Foundation (project no. 22-11-00129).
Alexey R. Alimov, Dr. Phys.-Math. Sci., Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Moscow, 119899 Russia; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics, Moscow, 119899 Russia, e-mail: alexey.alimov-msu@yandex.ru
Cite this article as: A.R. Alimov. Strict suns composed of planes. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 4, pp. 27–36.
[References -> on the "English" button bottom right]
