А.А. Васильева. Колмогоровские поперечники пересечения двух весовых классов Соболева на отрезке с одинаковой гладкостью ... С. 55-63

УДК 517.518.224

MSC: 41A46

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-4-55-63

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, грант № 22-21-00204, https://rscf.ru/project/22-21-00204/.

Полный текст статьи (Full text)

В работе получены порядковые оценки колмогоровских $n$-поперечников пересечения двух весовых классов Соболева $W^r_{p_1,g_1}[a, \, b]$ и $W^r_{p_2,g_2}[a, \, b]$ в весовом пространстве Лебега $L_{q,v}[a, \, b]$ при больших $n$. Предполагается, что $p_1>p_2$. Веса $g_1$, $g_2$, $v$ имеют общий вид. Условия на эти функции таковы, что порядок поперечника по $n$ такой же, как у невесового класса Соболева $W^r_{p_1}[a, \, b]$. Кроме того, вес $g_2$ в некотором смысле значительно меньше веса $g_1$. Константы в порядковом равенстве для поперечника зависят только от $p_1$, $p_2$, $q$ и $r$. Оценка сверху сводится к использованию одного из предыдущих результатов автора (2010) для одного весового класса Соболева. Для оценки снизу используется метод дискретизации. Затем оценивается поперечник пересечения $p_1$- и $p_2$-эллипсоидов. В это множество вписывается многогранник специального вида. При подходящем выборе параметров получается нужная оценка снизу для поперечника многогранника.

Ключевые слова: колмогоровские поперечники, пересечение классов функций

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Васильева А.А. Оценки поперечников весовых соболевских классов // Мат. сб. 2010. Т. 201, № 7. С. 15–52. doi 10.4213/sm7520

2.   Lifshits M.A., Linde W. Approximation and entropy numbers of Volterra operators with application to Brownian motion // Mem. Amer. Math. Soc. Vol. 157, no. 745. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002. doi: 10.1090/memo/074

3.   Edmunds D.E., Lang J. Approximation numbers and Kolmogorov widths of Hardy-type operators in a non-homogeneous case // Math. Nachr. 2006. Vol. 297, no. 7. P. 727–742. doi: 10.1002/mana.200510389

4.   Lomakina E.N., Stepanov V.D. On asymptotic behaviour of the approximation numbers and estimates of Schatten–von Neumann norms of the Hardy-type integral operators // Function spaces and applications: Proc. of Delhi Conf. (New Delhi, India, 1997), New Delhi: Narosa Publ., 2000. P. 153–187.

5.   Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Асимптотические оценки аппроксимативных и энтропийных чисел одновесового оператора Римана — Лиувилля // Мат. тр. 2006. Т. 9, № 1. С. 52–100.

6.   Тихомиров В.М. Теория приближений. // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 14. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М., 1987. C. 103–260.

7.   Кашин Б.С. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1977. Т. 41, № 2. С. 334–351.

8.   Васильева А.А. Колмогоровские поперечники классов Соболева на отрезке с ограничениями на вариацию // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 48–66. doi: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-48-66

9.   Галеев Э.М. Поперечники по Колмогорову классов периодических функций одной и нескольких переменных // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1990. Т. 54, № 2. С. 418–430.

10.   Васильева А.А. Колмогоровские поперечники пересечений весовых классов Соболева на отрезке с ограничениями на нулевую и первую производные // Изв. РАН. Сер. математическая. 2021. Т. 85, № 1. С. 3–26. doi: 10.4213/im8969

11.   Pietsch A. s-numbers of operators in Banach space // Studia Math. 1974. Vol. 51. P. 201–223.

12.   Стесин М.И. Александровские поперечники конечномерных множеств и классов гладких функций // Докл. АН СССР. 1975. Т. 220, № 6. С. 1278–1281.

13.   Глускин Е.Д. Нормы случайных матриц и поперечники конечномерных множеств // Мат. сб. 1983. Т. 120 (162), №2. С. 180–189.

14.   Гарнаев А.Ю., Глускин Е.Д. О поперечниках евклидового шара // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277, №5. С. 1048–1052.

15.   Глускин Е.Д. Пересечения куба с октаэдром плохо аппроксимируются подпространствами малой размерности // Приближение функций специальными классами операторов: межвуз. сб. научн. тр., Мин. прос. РСФСР / Вологодский гос. пед. ин-т. Вологда, 1987. С. 35–41.

16.   Майоров В.Е. Дискретизация задачи о поперечниках // Успехи мат. наук. 1975. Т. 30, №. 6 (186). С. 179–180.

Поступила 02.08.2023

После доработки 11.10.2023

Принята к публикации 16.10.2023

Васильева Анастасия Андреевна
д-р физ.-мат. наук
доцент механико-математического факультета
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова;
Московский центр фундаментальной и прикладной математики, г. Москва
e-mail: vasilyeva_nastya@inbox.ru

Ссылка на статью: А.А. Васильева. Колмогоровские поперечники пересечения двух весовых классов Соболева на отрезке с одинаковой гладкостью // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 4. С. 55-63

English

A.A. Vasil’eva. Kolmogorov widths of the intersection of two weighted Sobolev classes on an interval with the same smoothness

Order estimates are obtained for the Kolmogorov $n$-widths of the intersection of two weighted Sobolev classes on an interval with the same smoothness for large $n$. The weights have a general form, and one of them is in a certain sense significantly less than the other. The constants in the order equality are independent of the weights. Order estimates are obtained for the Kolmogorov $n$-widths of the intersection of two weighted Sobolev classes $W^r_{p_1,g_1}[a,\,b]$ and $W^r_{p_2,g_2}[a,\,b]$ in the weighted Lebesgue space $L_{q,v}[a,\,b]$ for large $n$. It is assumed that $p_1>p_2$. The weights $g_1$, $g_2$, and $v$ have general form. The conditions on these functions are such that the order of the width in $n$ is the same as for the unweighted Sobolev class $W^r_{p_1}[a,\,b]$. In addition, the weight $g_2$ in a certain sense is considerably less than the weight $g_1$. The constants in the order equality for the width depend only on $p_1$, $p_2$, $q$, and $r$. The upper estimate reduces to the use of our earlier result (2010) for one weighted Sobolev class. The lower estimate is derived by using the discretization method and estimating the width of the intersection of the $p_1$- and $p_2$-ellipsoids. Then a polyhedron of special form is inscribed in this set, and the required lower estimate is obtained for the width of the polyhedron under an appropriate choice of the parameters.

Keywords: Kolmogorov widths, intersection of function classes

Received August 2, 2023

Revised October 11, 2023

Accepted October 16, 2023

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 22-21-00204, https://rscf.ru/project/22-21-00204/).

Anastasia Andreevna Vasil’eva, Dr. Phys.-Math. Sci., Lomonosov Moscow State University; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics, Moscow, 119991 Russia, e-mail: vasilyeva_nastya@inbox.ru

Cite this article as: A.A. Vasil’eva. Kolmogorov widths of the intersection of two weighted Sobolev classes on an interval with the same smoothness. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 4, pp. 55–63.

[References -> on the "English" button bottom right]