УДК 512.542
MSC: 20D10, 20D35, 20D40
DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-4-169-180
Работа выполнена при поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (Ф23РНФ-237).
Полный текст статьи (Full text)
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2023, Vol. 323, Suppl. 1, pp. S168–S178. (Abstract)
Пусть $\mathfrak F$ — формация и $G$ — конечная группа. Подгруппа $H$ группы $G$ называется $\mathrm{K}\mathfrak F$-субнормальной (субмодулярной) в $G$, если существует цепочка подгрупп $H=H_0\le \ H_1 \le \ \ldots \le \ H_{n-1}\le \ H_n=G$
такая, что для каждого $i$ либо $H_{i}$ нормальна в $H_{i+1}$, либо $H_{i+1}^\mathfrak{F} \le H_i$ ($H_i$ модулярна в $H_{i+1}$ соответственно). Доказано, что примарная подгруппа субмодулярна тогда и только тогда, когда она $\mathrm{K}\mathfrak U_1$-субнормальна в группе. Здесь $\mathfrak U_1$ — формация всех сверхразрешимых групп, порядки элементов которых свободны от квадратов. Более того, для разрешимой наследственной формации $\mathfrak{F}$ установлено, что каждая разрешимая $\mathrm{K}\mathfrak{F}$-субнормальная подгруппа группы $G$ содержится в разрешимом радикале группы $G$. Получен ряд приложений данных результатов к исследованию групп, факторизуемых $\mathrm{K}\mathfrak{F}$-субнормальными и субмодулярными подгруппами.
Ключевые слова: конечная группа, субнормальная подгруппа, субмодулярная подгруппа
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kegel O.H. Untergruppenverbände endlicher Gruppen, die den Subnormalteilerverband echt enthalten // Arch. Math. 1978. Vol. 30. P. 225–228.
2. Hawkes T. On formation subgroups of a finite soluble group // J. Lond. Math. Soc. 1969. Vol. s1-44, no. 1. P. 243–250. doi: 10.1112/jlms/s1-44.1.243
3. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. 271 с.
4. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin; NY: Walter de Gruyter, 1992. 891 p.
5. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Беларуская навука, 2003. 254 с.
6. Ballester-Bolinches A., Ezquerro L.M. Classes of finite groups. Dordrecht: Springer, 2006. 381 p.
7. Schmidt R. Subgroup lattices of groups. Berlin; NY: De Gruyter, 1994. 572 p.
8. Zimmermann I. Submodular subgroups in finite groups // Math. Z. 1989. Vol. 202. P. 545–557. doi: 10.1007/BF01221589
9. Васильев В.А. Конечные группы с субмодулярными силовскими подгруппами // Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56, № 6. С. 1277–1288. doi: 10.17377/smzh.2015.56.606
10. Monakhov V.S., Sokhor I.L. Finite groups with submodular primary subgroups // Arch. Math. 2023. Vol. 121. P. 1–10. doi: 10.1007/s00013-023-01872-z
11. Мурашко В.И. Классы конечных групп с обобщенно субнормальными циклическими примарными подгруппами // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 6. С. 1353–1367.
12. Васильев А.Ф., Васильева Т.И., Тютянов В.Н. О конечных группах сверхразрешимого типа // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 6. С. 1270–1281.
13. Монахов В.С. Конечные группы с абнормальными и $\mathfrak{U}$-субнормальными подгруппами // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 2. С. 447–462. doi: 10.17377/smzh.2016.57.217
14. Монахов В.С. О трех формациях над $\mathfrak{U}$ // Мат. заметки. 2021. Т. 110, № 3. С. 358–367. doi: 10.4213/mzm13063
15. Васильев А.Ф., Васильева Т.И., Тютянов В.Н. О $\mathrm K$-$\mathbb P$-субнормальных подгруппах конечных групп // Мат. заметки. 2014. Т. 95, № 4. С. 517–528. doi: 10.4213/mzm10216
16. Monakhov V.S., Sokhor I.L. Finite groups with formational subnormal primary subgroups of bounded exponent // Сиб. электрон. мат. изв. 2023. Т. 20, № 2. С. 785–796. doi: 10.33048/semi.2023.20.046
17. Huppert B. Endliche Gruppen. I. Berlin; Heidelberg; NY: Springer, 1967. 793 p.
18. Монахов В.С. Конечные факторизуемые группы с $\mathbb P$-субнормальными v-сверхразрешимыми и sh-сверхразрешимыми сомножителями // Мат. заметки. 2022. Т. 111, № 3. P. 403–410. doi: 10.4213/mzm13255
19. Васильев В.А. О влиянии субмодулярных подгрупп на строение конечных групп // Веснiк ВДУ. 2016. № 2 (91). С. 17–21.
20. Васильев А.Ф. Новые свойства конечных динильпотентных групп // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2004. № 2. С. 29–33.
Поступила 13.08.2023
После доработки 6.10.2023
Принята к публикации 9.10.2023
Монахов Виктор Степанович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор
Гомельский государственный университет имени Ф. Скорины
г. Гомель, Беларусь
e-mail: victor.monakhov@gmail.com
Сохор Ирина Леонидовна
канд. физ.-мат. наук, доцент
докторант
Гомельский государственный университет имени Ф. Скорины
г. Гомель, Беларусь
e-mail: irina.sokhor@gmail.com
Ссылка на статью: В.С. Монахов, И.Л. Сохор. О субмодулярности и $\mathrm{K}\mathfrak F$-субнормальности в конечных группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 4. С. 169-180
English
V.S. Monakhov, I.L. Sokhor. On submodularity and $\mathrm{K}\mathfrak F$-subnormality in finite groups
Let $\mathfrak F$ be a formation, and let $G$ be a finite group. A subgroup $H$ of $G$ is $\mathrm{K}\mathfrak F$-subnormal (submodular) in $G$ if there is a subgroup chain $H=H_0\le \ H_1 \le \ \ldots \le \ H_{n-1}\le \ H_n=G$ such that for every $i$ either $H_{i}$ is normal in $H_{i+1}$ or $H_{i+1}^\mathfrak{F} \le H_i$ ($H_i$ is a modular subgroup of $H_{i+1}$, respectively). We prove that in a group, a primary subgroup is submodular if and only if it is $\mathrm{K}\mathfrak U_1$-subnormal. Here $\mathfrak U_1$ is a formation of all supersolvable groups with square-free orders of elements. Moreover, for a solvable subgroup-closed formation $\mathfrak{F}$, every solvable $\mathrm{K}\mathfrak{F}$-subnormal subgroup of a group $G$ is contained in the solvable radical of $G$. We also obtain a series of applications of these results to the investigation of groups factorized by $\mathrm{K}\mathfrak{F}$-subnormal and submodular subgroups.
Keywords: finite group, subnormal subgroup, submodular subgroup
Received August 13, 2023
Revised October 6, 2023
Accepted October 9, 2023
Funding Agency: This work was supported by the Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research (project no. Φ23PHΦ-237).
Victor Stepanovich Monakhov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Francisk Skorina Gomel State University, Gomel, 246028 Belarus, e-mail: victor.monakhov@gmail.com
Irina Leonidovna Sokhor, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Francisk Skorina Gomel State University, Gomel, 246028 Belarus, e-mail: irina.sokhor@gmail.com
Cite this article as: V.S. Monakhov, I.L. Sokhor. On submodularity and $\mathrm{K}\mathfrak F$-subnormality in finite groups. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 4, pp. 169–180; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.1), 2023, Vol. 323, Suppl. 1, pp. S168–S178.
[References -> on the "English" button bottom right]
