УДК 512.542
MSC: 20D40
DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-4-181-192
Работа выполнена при поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (проект Ф23РНФ-237).
Полный текст статьи (Full text)
Граф Хоукса $\Gamma_H(G)$ группы $G$ — это ориентированный граф, множество вершин которого совпадает с $\pi(G)$ и который имеет ребро $(p, q)$, если $q\in\pi( G/O_{p',p}(G))$. Силовским графом $\Gamma_s(G)$ группы $G$ называется ориентированный граф с множеством вершин $\pi(G)$, и $(p, q)$ является ребром $\Gamma_s(G)$, если $q \in\pi(N_G(P)/PC_G(P))$ для некоторой силовской $p$-подгруппы $P$ группы $G$. $N$-критический граф $\Gamma_{Nc}(G)$ группы $G$ — ориентированный граф, множество вершин которого совпадает с $\pi(G)$, такой, что $(p, q)$ — ребро $\Gamma_{Nc}(G)$ всякий раз, когда $G$ содержит $(p, q)$-подгруппу Шмидта, т.е. $\{p, q\}$-подгруппу Шмидта с нормальной силовской $p$-подгруппой. В статье изучаются графы Хоукса, силовские и $N$-критические графы произведений тотально перестановочных, взаимно перестановочных и $\mathfrak{N}$-связных подгрупп.
Ключевые слова: конечная группа; граф Хоукса; силовский граф; $N$-критический граф; произведение тотально перестановочных подгрупп; произведение взаимно перестановочных подгрупп; $\mathfrak{N}$-связные подгруппы
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Abe S., Iiyori N. A generalization of prime graphs of finite groups // Hokkaido Math. J. 2000. Vol. 29. P. 391–407. doi: 10.14492/hokmj/1350912979
2. Cayley A. Desiderata and suggestions: No. 2. The theory of groups: graphical representation // Amer. J. Math. 1878. Vol. 1, no. 2. P. 174–176. doi: 10.2307/2369306
3. Erwin D., Russo F.G. The influence of the complete nonexterior square graph on some infinite groups // Lith. Math. J. 2016. Vol. 56, no. 4. P. 492–502. doi: 10.1007/s10986-016-9331-2
4. Hawkes T. On the class of Sylow tower groups // Math. Z. 1968. Vol. 105, no. 5. P. 393–398. doi: 10.1007/BF01110301
5. Kazarin L.S., Martínez-Pastor A, Pérez-Ramos M.D. On the Sylow graph of a group and Sylow normalizers // Israel J. Math. 2011. Vol. 186, no. 1. P. 251–271. doi: 10.1007/s11856-011-0138-x
6. Кондратьев А.С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп. Мат. сб. 1989. Т. 180, № 6. С. 787–797.
7. Lucchini A., Maróti A. On the clique number of the generating graph of a finite group // Proc. Amer. Math. Soc. 2009. Vol. 137. P. 3207–3217. doi: 10.1090/S0002-9939-09-09992-4
8. Russo F.G. Problems of connectivity between the Sylow Graph, the prime graph and the non-commuting graph of a group // Adv. Pure Math. 2012. Vol. 2. P. 391–396. doi: 10.4236/apm.2012.26058
9. Vasilyev F., Murashka V.I. Arithmetic graphs and classes of finite groups // Siberian Math. J. 2019. Vol. 60, no. 1. P. 41–55. doi: 10.1134/S0037446619010051
10. Williams J.S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra. 1981. Vol. 69, no. 2. P. 487–513. doi: 10.1016/0021-8693(81)90218-0
11. Васильев А.Ф., Мурашко В.И., Фурс A.K. О графе Хоукса конечных групп // Сиб. мат. журн. 2022. Т. 63, № 5. С. 1010–1026. doi: 10.33048/smzh.2022.63.504
12. D’Aniello A., De Vivo C., Giordano G. Lattice formations and Sylow normalizers: A conjecture // Atti Semin. Mat. Fis. Univ. Modena. 2007. Vol. 55. P. 107–112.
13. Murashka V.I. On the connected components of the prime and Sylow graphs of a finite group // Arch. Math. 2022. Vol. 118, no. 3. P. 225–229. doi: 10.1007/s00013-021-01694-x
14. Murashka V.I. N-critical graph of finite groups // Asian-European J. Math. 2021. Vol. 15, no. 9. Article no. 2250163. doi: 10.1142/S1793557122501637
15. Carocca A. A note on the product of F-subgroups in a finite group // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1996. Vol. 39, no. 1. P. 37–42. doi: 10.1017/S0013091500022756
16. Francalanci G. Nilpotence relations in products of groups // J. Group Theory. 2021. Vol. 24, no. 3. P. 467–480. doi: 10.1515/jgth-2020-0135
17. Hauck P., Martínez-Pastor A., Pérez-Ramos M.D. Products of $\mathcal{N}$-connected groups // Illinois J. Math. 2003. Vol. 47, no. 4. P. 1033–1045. doi: 10.1215/ijm/1258138089
18. Ballester-Bolinches A., Esteban-Romero R., Asaad M. Products of Finite Groups. Berlin; NY: Walter De Gruyter, 2010. Ser. De Gruyter Expos. Math., vol. 53. doi.org/10.1515/9783110220612
19. Васильев А.Ф. К проблеме перечисления локальных формаций с заданным свойством // Вопросы алгебры. 1987. Вып. 3. С. 3–11.
20. Ballester-Bolinches A. Ezquerro L.M. Classes of finite groups. Netherlands: Springer, 2006. Ser. Math. Appl., vol. 584. 359 p.
21. Beidleman J.C., Heineken H. Mutually permutable subgroups and group classes // Arch. Math. 2005. Vol. 85, no. 1. P. 18–30. doi: 10.1007/s00013-005-1200-2
22. Васильев А.Ф., Васильева Т.И., Симоненко Д.Н. О MP-замкнутых насыщенных формациях конечных групп // Изв. вузов. Математика. 2017. Т. 61, № 6. С. 9–17.
23. Шеметков Л.A., Скиба A.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989. 256 с.
24. Aivazidis S., Safonova I.N., Skiba A.N. Subnormality and residuals for saturated formations: A generalization of Schenkman’s theorem // J. Group Theory. 2021. Vol. 24, no. 4. P. 807–818. doi: 10.1515/jgth-2020-0149
25. Мурашко В.И. Группы с заданными системами подгрупп Шмидта // Сиб. мат. журн. Т. 60, № 2. С. 429–440. doi: 10.33048/smzh.2019.60.214
Поступила 9.06.2023
После доработки 8.08.2023
Принята к публикации 28.08.2023
Мурашко Вячеслав Игоревич
канд. физ.-мат. наук
Гомельский государственный университет имени Ф.Скорины
г. Гомель, Беларусь
e-mail: mvimath@yandex.ru
Ссылка на статью: В.И. Мурашко. Арифметические графы и факторизуемые конечные группы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 4. С. 181-192
English
V.I. Murashka. Arithmetic graphs and factorized finite groups
The Hawkes graph $\Gamma_H(G)$ of a group $G$ is the directed graph with vertex set $\pi(G)$ that has an edge $(p, q)$ whenever $q\in\pi(G/O_{p',p}(G))$. The Sylow graph $\Gamma_s(G)$ of a group $G$ is the directed graph with vertex set $\pi(G)$ that has an edge $(p, q)$ whenever $q \in\pi(N_G(P)/PC_G(P))$ for some Sylow $p$-subgroup $P$ of $G$. The $N$-critical graph $\Gamma_{Nc}(G)$ of a group $G$ is the directed graph with vertex set $\pi(G)$ that has an edge $(p, q)$ whenever $G$ contains a Schmidt $(p, q)$-subgroup, i.e., a Schmidt $\{p, q\}$-subgroup with a normal Sylow $p$-subgroup. The paper studies the Hawkes, Sylow, and $N$-critical graphs of products of totally permutable, mutually permutable, and $\mathfrak{N}$-connected subgroups.
Keywords: finite group, Hawkes graph, Sylow graph, $N$-critical graph, product of totally permutable subgroups, product of mutually permutable subgroups, $\mathfrak{N}$-connected subgroups
Received June 9, 2023
Revised August 8, 2023
Accepted August 28, 2023
Funding Agency: This work was supported by the Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research (project no. Φ23PHΦ-237).
Viachaslau Igaravich Murashka, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Francisk Skorina Gomel State University, Gomel, 246028 Belarus, e-mail: mvimath@yandex.ru.
Cite this article as: V. I. Murashka. Arithmetic graphs and factorized finite groups. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 4, pp. 181–192.
[References -> on the "English" button bottom right]
