УДК 517.977
MSC: 39A23, 39A99, 49N90, 93C55
DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-1-167-179
Полный текст статьи (Full text)
Рассматриваются модели однородных и структурированных (например, по возрасту, полу или другому признаку) популяций, заданные разностными уравнениями. Динамика структурированной популяции при отсутствии эксплуатации определяется системой уравнений $x(k+1)=F\bigl(x(k)\bigr),$ $k=0,1,2,\ldots;$ здесь $F(x)$ — вектор-столбец с координатами $f_1(x),\ldots,f_n(x)$ — вещественными неотрицательными непрерывными функциями; $x(k)=\bigl(x_1(k),\ldots,x_n(k)\bigr),$ где $x_i(k),$ $i=1,\ldots,n$ — количество ресурса $i$-го вида или возрастного класса в момент времени $k=0,1,2,\ldots$ . Однородная популяция задана разностным уравнением $x(k+1)=f\bigl(x(k)\bigr),$ $k=0,1,2,\ldots$ . Предполагается, что популяция подвержена промысловому изъятию $u(k) = \bigl(u_1(k),\dots,u_n(k)\bigr)\in [0,1]^n$ в фиксированные моменты времени $k=0,1,2,\ldots$ и имеется возможность управлять этим процессом для достижения определенного результата сбора ресурса. Таким образом, рассматриваются модели эксплуатируемых популяций, заданные системами уравнений $x(k+1)=F\bigl((1-u(k))x(k)\bigr),$ $k=0,1,2,\ldots$ . Исследуется задача оптимального сбора возобновляемого ресурса на неограниченном временном промежутке при стационарном и общем режимах эксплуатации. Рассматриваются характеристики сбора ресурса, первая из которых — эффективность сбора, равная пределу при $k\to\infty$ отношения стоимости ресурса, полученной за $k$ сборов, к сумме приложенных для этого управлений (усилий сбора). Другая — средняя временная выгода, заданная пределом при $k\to\infty$ среднего арифметического стоимости ресурса за $k$ сборов. Получены наибольшие значения данных характеристик и описаны стратегии промысла, при которых достигаются эти значения. Показано, что если при эксплуатации популяции учитывать все возможные управления, то можно определить значение эффективности сбора больше, чем максимальное значение эффективности на множестве стационарных управлений. С другой стороны, набольшее значение средней временной выгоды, вычисленное на множестве всех управлений, совпадает с наибольшим значением на множестве стационарных управлений и не зависит от $x(0).$ Результаты работы проиллюстрированы на примерах эксплуатируемой популяции, заданной дискретным логистическим уравнением и структурированной популяции, состоящей из двух видов.
Ключевые слова: модель популяции, подверженной промыслу, режимы эксплуатации популяции, оптимальная эксплуатация, эффективность сбора ресурса, средняя временная выгода
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Scott Gordon H. The economic theory of a common-property resource: The fishery // J. Polit. Econ. 1954. Vol. 62. P. 124–142. doi: 10.1016/s0092-8240(05)80048-5
2. Brauer F., Sanchez D.A. Constant rate population harvesting: equilibrium and stability // Theor. Popul. Biol. 1975. Vol. 8, no. 1. P. 12–30. doi: 10.1016/0040-5809(75)90036-2
3. Freedman H.I., So J. W. H. Persistence in discrete models of a population which may be subjected to harvesting // Natural Resource Modeling. 1987. Vol. 2, no. 1. P. 135–145. doi: 10.1111/j.1939-7445.1987.tb00029.x
4. Brites N.M., Braumann C.A. Fisheries management in random environments: Comparison of harvesting policies for the logistic model // Fisheries research. 2017. Vol. 195. P. 238–246. doi: 10.1016/j.fishres.2017.07.016
5. Davydov A.A., Platov A.S. Optimal stationary solution for a model of exploitation of a population under intraspecific competition // J. Math. Sci. 2014. Vol. 201, no. 6. P. 746–751. doi: 10.1007/s10958-014-2023-8
6. Зеликин М.И., Локуциевский Л.В., Cкопинцев С.В. Об оптимальном сборе ресурса на окружности // Мат. заметки. 2017. Т. 102, № 4. C. 521–532. doi: 10.4213/mzm11310
7. Неверова Г.П., Абакумов А.И., Фрисман Е.Я. Влияние промыслового изъятия на режимы динамики лимитированной популяции: результаты моделирования и численного исследования // Мат. биология и биоинформатика. 2016. Т. 11, № 1. С. 1–13. doi: 10.17537/2016.11.1
8. Ревуцкая О.Л., Фрисман Е.Я. Влияние равновесного промысла на сценарии развития двухвозрастной популяции // Информатика и системы управления. 2017. Т. 53, № 3. C. 36–48. doi:10.22250/isu.2017.53.36-48
9. Upmann T., Uecker H., Hammann L., Blasius B. Optimal stock–enhancement of a spatially distributed renewable resource // J. Economic Dynamics and Control. 2021. Vol. 123. Article no. 104060. doi: 10.1016/j.jedc.2020.104060
10. Егорова А.В., Родина Л.И. Об оптимальной добыче возобновляемого ресурса из структурированной популяции // Вест. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьют. науки. 2019. Т. 29, вып. 4. С. 501–517. doi: 10.20537/vm190403
11. Беляков А.О., Давыдов А.А. Оптимизация эффективности циклического использования возобновляемого ресурса // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 2. С. 38–46. doi: 10.21538/0134-4889-2016-22-2-38-46
12. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978. 352 с.
13. Родина Л.И. Разностные уравнения как модели биологических процессов. Владимир: Владимир. гос. ун-т, 2022. 82 с.
14. Шарковский А.Н., Коляда С.Ф., Сивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка, 1989. 216 с.
15. Волдеаб М.С., Родина Л.И. О способах добычи возобновляемого ресурса из структурированной популяции // Вест. российских ун-тов. Математика. 2022. Т. 27, № 137. С. 16–26. doi: 10.20310/2686-9667-2022-27-137-16-26
Поступила 24.10.2022
После доработки 26.12.2022
Принята к публикации 16.01.2023
Родина Людмила Ивановна
д-р физ.-мат. наук
профессор
кафедра функционального анализа и его приложений
Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых
г. Владимир
профессор
кафедра математики
Национальный исследовательский технологический университет “МИСиС”
г. Москва
e-mail: LRodina67@mail.ru
Черникова Анастасия Владимировна
аспирант
кафедра функционального анализа и его приложений
Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых
г. Владимир
e-mail: nastik.e@bk.ru
Ссылка на статью: Л.И. Родина, А.В. Черникова. Об оптимальной добыче возобновляемого ресурса на бесконечном промежутке времени // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 1. С. 167-179
English
L.I. Rodina, A.V. Chernikova. On infinite-horizon optimal exploitation of a renewable resource
We consider models of homogeneous and structured (for example, by age, gender, or other attribute) populations given by difference equations. The dynamics of a structured population in the absence of exploitation is given by the system of equations $x(k+1)=F\bigl(x(k)\bigr),$ $k=0,1,2,\ldots$ ; here $F(x)$ is a column vector with coordinates $f_1(x),\ldots,f_n(x)$, which are real nonnegative continuous functions, and $x(k)=\bigl(x_1(k),\ldots,x_n(k)\bigr),$ where $x_i(k),$ $i=1,\ldots,n$ , is the amount of resource of the $i$th type or age class at time $k=0,1,2,\ldots$ . A homogeneous population is given by the difference equation $x(k+1)=f\bigl(x(k)\bigr),$ $k=0,1,2,\ldots$ . It is assumed that the population is subject to harvesting $u(k) = \bigl(u_1(k),\dots,u_n(k)\bigr)\in [0,1]^n$ at fixed times $k=0,1,2,\ldots$ , and this process can be controlled to achieve a certain result of resource harvesting. Thus, we consider the models of the exploited populations given by the systems of equations $x(k+1)=F\bigl((1-u(k))x(k)\bigr),$ $k=0,1,2,\ldots$ . We study the infinite-horizon problem of optimal harvesting of a renewable resource for stationary and general exploitation modes. The characteristics of resource harvesting are considered, the first of which is the harvesting efficiency equal to the limit as $k\to\infty$ of the ratio of the cost of the resource gathered in $k$ harvestings to the amount of applied control (harvesting efforts). Another characteristic is the mean time profit, which is the limit as $k\to\infty$ of the arithmetic mean of the cost of the resource over $k$ harvestings. We find the highest values of these characteristics and describe the harvesting strategies under which these values are attained. It is shown that if all possible controls are taken into account in population exploitation, then a value of harvesting efficiency greater than the highest efficiency on the set of stationary controls can be attained. On the other hand, the largest value of the mean time profit calculated on the set of all controls coincides with the largest value on the set of stationary controls and does not depend on $x(0)$. The results are illustrated by the examples of an exploited population given by a discrete logistic equation and a structured population consisting of two species.
Keywords: model of a population subject to harvesting, population exploitation modes, optimal exploitation, resource harvesting efficiency, average time profit
Received October 24, 2022
Revised December 26, 2022
Accepted January 16, 2023
Lyudmila Ivanovna Rodina, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Vladimir State University, Vladimir, 600000 Russia; Prof., Department of Mathematics, National University of Science and Technology MISiS, Moscow, 119049 Russia, e-mail: LRodina67@mail.ru
Anastasia Vladimirovna Chernikova, doctoral student, Vladimir State University, Vladimir, 600000 Russia, e-mail: nastik.e@bk.ru
Cite this article as: L.I. Rodina, A.V. Chernikova. On infinite-horizon optimal exploitation of a renewable resource. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 1, pp. 167–179.
[References -> on the "English" button bottom right]
