УДК 517.925
MSC: 34A25, 34A34
DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-1-180-189
Полный текст статьи (Full text)
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2023, Vol. 321, Suppl. 1, pp. S230–S238. (Abstract)
К 70-летию дорогого А.Р. Данилина
Изучается вопрос о виде кривых $x=\varphi(t)$ нулей совместных решений L—A-пары общего вида, образуемой эволюционным уравнением $\Psi'_t=\Psi''_{xx}/2-G(t,x)\Psi$ и обыкновенным диференциальным уравнением $\Psi'''_{xxx}=K(t,x)\Psi''_{xx}+L(t,x)\Psi'_{x}+M(t,x)\Psi$. Показано, что эти кривые задаются решениями нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка $\varphi''_{tt}=f(t,\varphi,\varphi'_t)$. Его правая часть $f(t,\varphi,\varphi'_t)$ представляет собой кубический полином по производной $\varphi'_t$ c коэффициентами, явно определяемыми функциями $G(t,x)$, $K(t,x)$, $L(t,x)$ и $M(t,x)$. Описана процедура интегрирования этого нелинейного уравнения. Она сводится к последовательному решению начальных задач для двух совместных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с независимыми переменными $x$ и $t$ c последующим применением теоремы о неявной функции. Установлено, что данное нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение принадлежит линеаризуемому классу уравнений, которые точечными заменами сводятся к уравнению $\tilde{\varphi}''_{\tilde{t}\tilde{t}}=0$. Данные точечные замены, как было показано в классической работе С. Ли, явным образом выписываются в терминах cовместных решений двух однородных систем линейных дифференциальных уравнений третьего порядка с разными независимыми переменными. Проводится сравнение процедур интегрирования нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описанных в работе С. Ли и в данной статье. Отмечено, что интерес представляет задача описания нулей совместных решений аналогичных L—A-пар более высокого порядка. Выдвинуто предположение о том, что решение последней задачи может быть связано с процедурой интегрирования линеаризуемых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка большего, чем второй.
Ключевые слова: интегрируемость, совместные решения, обыкновенные дифференциальные уравнения, нелинейность, точечные замены, линеаризуемость
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Andreev V.K., Kaptsov O.V., Pukhnachev V.V., Rodionov A.A. Applications of group-theoretical methods in hydrodynamics. Dordrecht: Kluwer, 1998. 396 p. (Math. and Its Appl.; vol. 450).
2. Domrin A.V., Shumkin M.A., Suleimanov B.I. Meromorphy of solutions for a wide class of ordinary differential equations of Painlevé type // J. Math. Physics. 2022. Vol. 63. Article no. 023501. doi: 10.1063/5.0075416
3. Kudashev V.R. KdV shock-like waves as invariant solutions of KdV equation symmetries [e-resource]. 1994. URL: https://arxiv.org/pdf/patt-sol/9404002.pdf .
4. Ligthill M.J. Viscosity effects in sound waves of finite amplitude // Surveys in Mechanics / eds. G.K. Batchelor & R.M. Davies. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1956. P 250–351.
5. Ильин A.М. Cогласование асимптотических разложений решений краевых задач. M.: Наука, 1989. 336 с.
6. Сулейманов Б.И., Кудашев В.Р. Влияние малой диссипации на процессы зарождения одномерных ударных волн // Прикл. математика и механика. 2001. Т. 65, вып. 3. C. 456–466.
7. Захаров C.В., Ильин А.М. От слабого разрыва к градиентной катастрофе // Мат. сб. 2001. Т. 192, № 10. С. 3–18.
8. Zakharov S.V., Il’in A.M. On the influence of small dissipation on the evolution of weak discontinuities // Func. Diff. Eq. 2001. Vol. 8, no. 3-4. P. 257–271.
9. Захаров С.В. Зарождение ударной волны в одной задаче Коши для уравнения Бюргерса // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2004. Т 44, № 3. С. 536–542.
10. Гарифуллин Р.Н., Сулейманов Б.И. От слабых разрывов к бездиссипативным ударным волнам // Журн. эксперимент. и теорет. физики. 2010. Т. 137, вып. 1. С. 149–165.
11. Tresse A. Sur les invariants diff’erentielles des groupes continus de transformations // Acta Math. 1984. Vol. 18, no. 1. P. 1–88. doi: 10.1007/BF02418270
12. Tresse A. D’etermination des invariants ponctuels de l’equation diff’erentielle ordinaire du second ordre $y''=\omega(x,y,y')$. Lepzig, S. Hirkei, 1896. S. 87.
13. Lie S. Classifikation und Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen $x,y$, die eine Gruppe von Transformationen gestatten. III // Archiv for Matematik og Naturvidenskab. 1883. B. VIII, N. 4. S. 371–458.
14. Дмитриева В.В. Точечно-инвариантные классы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка // Мат. заметки. 2001. Т. 70, вып. 2. С. 195–200.
15. Bocharov A.V., Sokolov V.V., Svinolupov S.I. On some equivalence problems for differential equations. Preprint Erwin Schrodinger Institute forMathematical Physics, preprint no. 54. Vienna, 1993. 12 p.
16. Euler N., Wolf T., Leach P.G., Euler M. Linearizable third-order ordinary differential equations and generalized Sundman transformations: The Case $X'''=0$ // Acta Appl. Math. 2003. Vol. 76, no. 1. P. 89–115.
17. Suksern S., Naboonmee K. Linearization of Fifth-Order Ordinary Differential Equations by Generalized Sundman Transformations // Int. J. Diff. Eq. 2018. Vol. 2018. Article no. 3048428. 17 p. doi 10.1155/2018/3048428
Поступила 16.01.2023
После доработки 28.01.2023
Принята к публикации 30.01.2023
Сулейманов Булат Ирекович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики с вычислительным центром УФИЦ РАН г. Уфа
e-mail: bisul@mail.ru
Ссылка на статью: Б.И. Сулейманов. Нули решений L—A-пар третьего порядка и линеаризуемые обыкновенные дифференциальные уравнения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29,№ 1. С. 180-189
English
B.I. Suleimanov. Zeros of solutions of third-order L–A pairs and linearizable ordinary differential equations
We study the form of the zero lines $x=\varphi(t)$ of simultaneous solutions to an L—A pair of general form composed of an evolution equation $\Psi'_t=\Psi''_{xx}/2-G(t, x)\Psi$ and an ordinary differential equation $\Psi'''_{xxx}=K(t,x)\Psi''_{xx}+L(t,x)\Psi'_{x}+M (t,x)\Psi$. It is shown that such lines are given by solutions of a second-order nonlinear ordinary differential equation $\varphi''_{tt}=f(t,\varphi,\varphi'_t)$. Its right-hand side $f(t,\varphi,\varphi'_t)$ is a cubic polynomial in the derivative $\varphi'_t$ with coefficients explicitly determined from the functions $G(t,x)$, $K(t,x )$, $L(t,x)$, and $M(t,x)$. A procedure for integrating this nonlinear equation is described; in this procedure, initial value problems for two consistent third-order linear ordinary differential equations with independent variables $x$ and $t$ are solved successively, and then the implicit function theorem is applied. It is established that this nonlinear ordinary differential equation belongs to the linearizable class of equations that are reduced by point changes to the equation $\tilde{\varphi}''_{\tilde{t}\tilde{t}}=0$. These point changes, as was shown in S. Lie's classical work, are explicitly written in terms of simultaneous solutions of two homogeneous systems of third-order linear differential equations with different independent variables. The integration procedures for nonlinear ordinary differential equations described in Lie's work and in the present paper are compared. It is noted that the problem of describing the zeros of simultaneous solutions of similar L—A pairs of higher order is of interest. It is conjectured that the solution of this problem can be connected with an integration procedure for linearizable nonlinear ordinary differential equations of order greater than the second.
Keywords: integrability, simultaneous solutions, ordinary differential equations, nonlinearity, point changes, linearizability
Received January 16, 2023
Revised January 28, 2023
Accepted January 30, 2023
Bulat Irekovich Suleimanov, Dr. Phys.-Math. Sci., Institute of Mathematics of Ufa Federal Research Center of Russian Academy of Sciences, Ufa, 450008 Russia, e-mail: bisul@mail.ru
Cite this article as: B.I. Suleimanov. Zeros of solutions of third-order L–A pairs and linearizable ordinary differential equations. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 1, pp. 180–189; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2023, Vol. 321, Suppl. 1, pp. S230–S238.
[References -> on the "English" button bottom right]
