М.Г. Григорян. О почти универсальных двойных рядах Фурье ... С. 91-102

УДК 517.51

MSC: 42C10

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-91-102

Исследование выполнено при финансовой поддержке Комитета по науке Республики Армения в рамках научного проекта № 21AG – 1A066.

Полный текст статьи (Full text)

Статья переведена: ISSN 0081-5438 

Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S129–S139. (Abstract)

Первые примеры универсальных тригонометрических рядов в классе измеримых функций построены Д.Е. Меньшовым. Из теоремы А.Н. Колмогорова (ряд Фурье каждой интегрируемой функции по тригонометрической системе сходится по мере) следует, что не существует интегрируемой функции, ряд Фурье которой по тригонометрической системе является универсальным в классе всех измеримых функций. Автором построена функция  $U\in L^1(\mathbb{T}),$ $\mathbb{T}=[-\pi,\pi),$ такая, что после выбора подходящих знаков $\{\delta_{k}=\pm1\}_{k=-\infty}^{\infty}$ для ее коэффициентов Фурье, ряд $\sum_{k=0}^{\infty}\delta_{k}\big(a_{k}(U)\cos kx+b_{k}(U)\sin kx\big)$ является универсальным в классе всех измеримых функций. Первые примеры универсальных функций были построены Д. Биркгофом в рамках комплексного анализа, при этом целые функции представлялись в любом круге равномерно сходящимися сдвигами универсальной функции, и Ю. Марцинкевичем — в рамках действительного анализа, при этом любая измеримая функция представлялась как предел почти всюду некоторой последовательности разностных отношений универсальной функции. В данной работе построена интегрируемая  функция двух переменных $u(x,y)$ такая, что после выбора подходящих знаков $\{\delta_{k,s}=\pm1\}_{k,s=-\infty}^{\infty}$ для ее коэффициентов Фурье ${\widehat{u}}_{k,s}$ ряд $\sum_{k,s=-\infty}^{\infty}\delta_{k,s}{\widehat{u}}_{k,s}e^{i(kx+sy)}$ по двойной тригонометрической системе $\{e^{ikx}, e^{isy}\}_{k,s=-\infty}^{\infty}$ является универсальным в классе $L^{p}(\mathbb{T}^{2}),$ $p\in(0,1),$ и, следовательно, в классе всех измеримых функций. Точнее, установлено, что как прямоугольные $S_{n,m}(x,y)=\sum_{|k|\leq n}\sum_{|s|\leq m}\delta_{k,s}{\widehat{u}}_{k,s}e^{i(kx+sy)}$, так и сферические $S_{R}(x,y)=\sum_{k^{2}+s^{2}\leq R^{2}}\delta_{k,s}{\widehat{u}}_{k,s}e^{i(kx+sy)}$ частные суммы ряда $\sum_{k,s=-\infty}^{\infty}\delta_{k,s}{\widehat{u}}_{k,s}e^{i(kx+sy)}$ являются плотными в $L^{p}(\mathbb{T}^{2}).$ С.В. Конягин недавно доказал, что не существует функции $u\in L^{1}(\mathbb{T}^{d}),$ $d\geq2,$ прямоугольные частные суммы кратного тригонометрического ряда  Фурье которой являются плотными в $L^{p}(\mathbb{T}^d)$, $p\in(0,1).$ Отсюда следует, что сформулированный в этом абзаце результат автора является в определенном смысле окончательным.

Ключевые слова: универсальная функция, универсальный ряд, кратный ряд Фурье по тригонометрической системе

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Birkhoff G. D. Démonstration d’un théoréme élémentaire sur les fonctions entiéres // C. R. Acad. Sci. Paris. 1929. Vol. 189. P. 473–475.

2.   Marcinkiewicz J. Sur les nombres derives // Fund. Math. 1935. Vol. 24. P. 305–308.

3.   MacLane G.R. Sequences of derivatives and normal families // J. Anal. Math. 1952. Vol. 2, no. 1. P. 72–87. doi: 10.1007/BF02786968 

4.   Кротов В.Г. О гладкости универсальных функций Марцинкевича и универсальных тригонометрических рядах // Изв. вузов. Математика. 1991. Т. 35, № 8. P. 26–31.

5.   Grosse-Erdmann K.G. Holomorphe Monster und Universelle Funktionen // Mitt. Math., Semin. G. 1987. Vol. 176. P. 1–84.

6.   Luh W. Universal approximation properties of overconvergent power series on open sets // Analysis. 1986. Vol.  6, no. 2-3. P. 191–207. doi: 10.1524/anly.1986.6.23.191 

7.   Muller J. Cntinus functions with universaliy divergent Fourier series on small subsets of the circle // C.R. Math. Acad. Sci. Paris. 2010. Vol. 348, iss. 21-22. P. 1155–1158. doi: 10.1016/j.crma.2010.10.026 

8.   Bayart F., Grosse-Erdmann K.-G., Nestoridis V., Papadimitropoulos C. Abstract theory of universal series and applications // Proc. Lond. Math. Soc. 2008. Vol. 96, no. 2. P. 417–463. doi: 10.1112/plms/pdm043 

9.   Меньшов Д.Е. О частичных суммах тригонометрических рядов // Мат. cб. 1947. Т. 20 (62), № 2. P. 197–238.

10.   Талалян А.А. О сходимости почти всюду подпоследовательностей частных сумм общих ортогональных рядов // Изв. АН Арм. ССР. Сер. физ.-мат. наук. 1957. Т. 10, № 3. P. 17–34.

11.   Kolmogorov A. Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les séries de Fourier // Fund. Math. 1925. Vol. 7. P. 24–29. doi: 10.4064/fm-7-1-24-29 

12.   Grigoryan M.G. Functions, universal with respect to the classical systems // Adv. Oper. Theory. 2020. Vol. 5, no. 4. P. 1414–1433. doi: 10.1007/s43036-020-00051-z 

13.   Григорян М.Г., Галоян Л.Н. Функции, универсальные относительно тригонометрической системы // Изв. РАН. Сер. математическая. 2021. Т. 85, № 2. P. 73–94. doi: 10.4213/im8964 

14.   Григорян М.Г. Об универсальных рядах Фурье // Мат. заметки. 2020. Т. 108, № 2. С. 296–299. doi: 10.4213/mzm12720 

15.   Кашин Б.С. Об одной полной ортонормированной системе // Мат. cб. 1976. Т. 99 (141), № 3. С. 356–365.

16.   Grigoryan M.G. , Sargsyan A.A. On the universal function for the class $L^{p}[0,1],p\in(0,1)$ // J. Func. Anal. 2016. Vol. 270, no. 8. P. 3111–3133. doi: 10.1016/j.jfa.2016.02.021 

17.   Григорян М.Г. О существовании и структуре универсальных функций // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2021. Т. 496. С. 30–33. doi: 10.31857/S2686954321010057 

18.   Grigoryan M.G. On the universal and strong $(L^1,L^\infty)$-property related to Fourier–Walsh series // Banach J. Math. Anal. 2017. Vol. 11, no. 3. P. 698–712. doi: 10.1215/17358787-2017-0012 

19.   Grigoryan M.G., Galoyan L.N. On the universal functions // J. Approx. Theory. 2018. Vol. 225, no. 191. P. 191–208. doi: 10.1016/j.jat.2017.08.003 

20.   Григорян М.Г. Функции с универсальными рядами Фурье — Уолша // Мат. cб. 2020. Т. 211, № 6. С. 107–131. doi: 10.4213/sm9302 

21.   Гецадзе Р.Д О расходимости по мере кратных рядов Фурье// Сообщ. АН ГССР. 1986. Т. 122, № 2. С. 269–271.

22.   Конягин С.В. О расходимости по мере кратных рядов Фурье // Мат. заметки. 1988. Т. 44, № 2. С. 196–201.

23.   Конягин С.В. О сходимости подпоследовательности частных сумм тригонометрического ряда Фурье по Прингсхейму // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 121–127. doi: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-121-127 

Поступила 18.05.2022

После доработки 27.08.2022

Принята к публикации 3.09.2022

Григорян Мартин Геворгович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Ереванский государственный университет
г. Ереван
e-mail: gmarting@ysu.am

Ссылка на статью: М.Г. Григорян. О почти универсальных двойных рядах Фурье // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 91-102

English

M.G. Grigoryan. On almost universal double Fourier series

The first examples of universal trigonometric series in the class of measurable functions were constructed by D.E. Men'shov. As follows from Kolmogorov's theorem (the Fourier series of each integrable function in the trigonometric system converges in measure), there is no integrable function whose Fourier series in the trigonometric system is universal in the class of all measurable functions. The author has constructed a function  $U\in L^1(\mathbb{T})$, $\mathbb{T}=[-\pi,\pi)$, such that, after an appropriate choice of the signs $\{\delta_{k}=\pm1\}_{k=-\infty}^{\infty}$ for its Fourier coefficients, the series $\sum_{k=0}^{\infty}\delta_{k}\big(a_{k}(U)\cos kx+b_{k}(U)\sin kx\big)$ is universal in the class of all measurable functions. The first examples of universal functions were constructed by G. Birkhoff in the framework of complex analysis, where entire functions were represented in any circle by uniformly convergent shifts of the universal function, and by Yu. Martsinkevich in the framework of real analysis, where any measurable function was represented as an almost everywhere limit of some sequence of difference relations of the universal function. In this paper we construct an integrable function $u(x,y)$ of two variables such that, after an appropriate choice of the signs $\{\delta_{k,s}=\pm1\}_{k,s=-\infty}^{\infty}$ for its Fourier coefficients $\widehat{u}_{k,s}$, the series $\sum_{k,s=-\infty}^{\infty}\delta_{k,s}{\widehat{u}}_{k,s}e^{i(kx+sy)}$ in the double trigonometric system $\{e^{ikx}, e^{isy}\}_{k,s=-\infty}^{\infty}$ is universal in the class $L^{p}(\mathbb{T}^{2})$, $p\in(0,1)$, and hence in the class of all measurable functions. More precisely, it is established that both rectangular partial sums $S_{n,m}(x,y)=\sum_{|k|\leq n}\sum_{|s|\leq m}\delta_{k,s}{\widehat{u}}_{k,s}e^{i(kx+sy)}$ and spherical partial sums $S_{R}(x,y)=\sum_{k^{2}+s^{2}\leq R^{2}}\delta_{k,s}{\widehat{u}}_{k,s}e^{i(kx+sy)}$ of the series $\sum_{k,s=-\infty}^{\infty}\delta_{k,s}{\widehat{u}}_{k,s}e^{i(kx+sy)}$ are dense in $L^{p}(\mathbb{T}^{2})$. Recently S.V. Konyagin has proved that there is no function $u\in L^{1}(\mathbb{T}^{d}),$ $d\geq2$, such that the rectangular partial sums of its multiple trigonometric Fourier series are dense in $L^{p}(\mathbb{T}^{2})$, $p\in(0,1)$). This means that the author's result formulated here is, in a sense, final.

Keywords: universal function, universal series, multiple Fourier series in a trigonometric system

Received May 18, 2022

Revised August 27, 2022

Accepted September 3, 2022

Funding Agency: This study was supported by the Science Committee of the Republic of Armenia (project no. 21AG-1A066).

Martin Gevorg Grigoryan, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof.,Yrevan State Univesiti, Yrevan, 0025 Armenia, e-mail: gmarting@ysu.am

Cite this article as: M.G. Grigoryan. On almost universal double Fourier series. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 4, pp. 91–102; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S129–S139.

[References -> on the "English" button bottom right]