Н.А. Ильясов. Порядковые равенства в пространствах $L_p(\mathbb T), 1<p<\infty,$, для наилучших приближений и модулей гладкости производных периодических функций с монотонными коэффициентами Фурье ... С. 103-120

УДК 517.518.454, 517.518.832

MSC: 42A10, 41A17, 41A25, 41A27, 42A32

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-103-120

Полный текст статьи (Full text)

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики (номер соглашения 075-15-2022-284).

Обозначим через $M_p^{(r)}(\mathbb T)$ класс всех функций $f\in L_p(\mathbb T)$, коэффициенты Фурье которых удовлетворяют условиям: $a_0(f)=0,$ $0<n^ra_n(f)\downarrow 0$, $0<n^rb_n(f)\downarrow 0$ $(n\uparrow \infty),$ где  $1<p<\infty$, $r\in \mathbb N$, $\mathbb T=(-\pi,\pi].$ В статье установлены порядковые равенства на классе $M_p^{(r)}(\mathbb T)$ между наилучшими приближениями $E_{n-1}(f^{(r)})_p$ тригонометрическими полиномами порядка $n-1$ и модулями гладкости $\omega_k(f^{(r)};\pi/n)_p$ $k$-х порядков $r$-х производных $f^{(r)},$ с одной стороны, и различными выражениями, содержащими элементы последовательностей $\{E_{\nu-1}(f)_p\}_{\nu=1}^{\infty}$ и $\{\omega_l(f;\pi/\nu)_p\}_{\nu=1}^{\infty},$ где $l,k\in\mathbb N$, $l>r$, с другой стороны. Ниже сформулированы основные результаты, полученные в этой работе. Для того чтобы функция $f$ из $M_p^{(r)}(\mathbb T)$ принадлежала классу $L_p^{(r)}(\mathbb T)$ (— класс функций $f\in L_p(\mathbb T)$, имеющих абсолютно непрерывные $(r-1)$-е производные $f^{(r-1)}$ и $f^{(r)}\in L_p(\mathbb T)$; $f^{(0)}\equiv f,\ L_p^{(0)}(\mathbb T)\equiv L_p(\mathbb T)$), необходимо и достаточно выполнения одного из следующих эквивалентных условий: $E(f;p;r):=\big(\sum_{n=1}^{\infty}n^{pr-1}E_{n-1}^{p}(f)_p\big)^{1/p}<\infty$ $\Leftrightarrow$ $\Omega(f;p;l;r):= \big(\sum_{n=1}^{\infty}n^{pr-1}\omega_{l}^{p}(f;\pi/n)_p\big)^{1/p}<\infty\Leftrightarrow\sigma(f;p;r):=\big(\sum_{n=1}^{\infty}n^{pr+p-2}(a_n(f)+b_n(f))^p\big)^{1/p}<\infty;$ при этом имеют место  порядковые равенства
$(a)\ E(f;p;r)\asymp \|f^{(r)}\|_p \asymp \sigma(f;p;r) \asymp\Omega(f;p;l;r);$
$(b)\ E_{n-1}(f^{(r)})_p\asymp n^r E_{n-1}(f)_p+\big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}E_{\nu-1}^{p}(f)_p\big)^{1/p},\ n\in \mathbb N;$ 
$(c)$ $\omega_k(f^{(r)};\pi/n)_p\asymp n^{-k}\big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{p(k+r)-1}E_{\nu-1}^{p}(f)_p\big)^{1/p}+\big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}E_{\nu-1}^{p}(f)_p\big)^{1/p},\ n\in \mathbb N;$
$(d)\ E_{n-1}(f^{(r)})_p+n^r\omega_l(f;\pi/n)_p\asymp \big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1} \omega_l^{p}(f;\pi/\nu)_p\big)^{1/p}\asymp \\ \asymp\omega_k(f^{(r)};\pi/n)_p+n^r\omega_l(f;\pi/n)_p,\ n\in \mathbb N,\ l<k+r;$
$(e)\ n^{-(l-r)}\big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{p(l-r)-1}E_{\nu-1}^{p}(f^{(r)})_p\big)^{1/p}\asymp \big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}\omega_l^{p}(f;\pi/\nu)_p\big)^{1/p}\asymp \\ \asymp n^{-(l-r)}\big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{p(l-r)-1}\omega_k^p (f^{(r)};\pi/\nu)_p\big)^{1/p},\ n\in \mathbb N,\ l<k+r;$
$(f)\ \omega_k(f^{(r)};\pi/n)_p \asymp \big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}\omega_l^{p}(f;\pi/\nu)_p\big)^{1/p},\ n\in \mathbb N,\ l=k+r;$
$(g)\ \omega_k(f^{(r)};\pi/n)_p \asymp n^{-k}\big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{p(k+r)-1}\omega_l^{p}(f;\pi/\nu)_p\big)^{1/p}+\big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}\omega_l^{p}(f;\pi/\nu)_p\big)^{1/p},\ n\in \mathbb N,\ l>k+r.$

В общем случае слагаемое $n^r\omega_l(f;\pi/n)_p$ в п. $(d)$ не допускает исключения как при оценке снизу в левой части (при $l>r)$, так и при оценке сверху в правой части (при $r<l<k+r)$. Однако, если $\{ E_{n-1}(f)_p\}_{n=1}^{\infty}\in B_l^{(p)}$ $(\Rightarrow \{E_{n-1}(f^{(r)})_p\}_{n=1}^{\infty}\in B_{l-r}^{(p)})$, либо $\{\omega_l(f;\pi/n)_p\}_{n=1}^{\infty}\in B_l^{(p)}$ $(\Rightarrow \{ \omega_k(f^{(r)}; \pi/n)_p\}_{n=1}^{\infty}\in B_{l-r}^{(p)})$, где $B_l^{(p)}$ — класс всех последовательностей $\{\varphi_n\}_{n=1}^{\infty}$ $(0<\varphi_n\downarrow 0$ при $n\uparrow \infty$), удовлетворяющих $(B_l^{(p)})$-условию Н.К. Бари $n^{-l}\big(\sum_{\nu=1}^n \nu^{pl-1}\varphi_{\nu}^p\big)^{1/p}=\mathcal{O}(\varphi_n),\ n\in\mathbb N$, равносильному $(S_l)$-условию С.Б. Стечкина, то

$
E_{n-1}(f^{(r)})_p\asymp \Big(\displaystyle\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}\omega_l^p\Big(f;\frac{\pi}{\nu}\Big)_p\Big)^{1/p}\asymp \omega_k\Big(f^{(r)};\frac{\pi}{n}\Big)_p,\quad n\in \mathbb N.
$

Ключевые слова: наилучшее приближение, модуль гладкости, прямая и обратная теоремы с производными теории приближений периодических функций, тригонометрический ряд Фурье с монотонными коэффициентами, порядковые равенства

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Докл. АН СССР. 1949. Т. 65, № 2. С. 135–137.

2.   Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1951. Т. 15, № 3. С. 219–242.

3.   Тиман А.Ф., Тиман М.Ф. Обобщенный модуль непрерывности и наилучшее приближение в среднем // Докл. АН СССР. 1950. Т. 71, № 1. С. 17–20.

4.   Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624 с.

5.   Кокилашвили В.М. О структурных и конструктивных характеристиках одного класса периодических функций // Сообщения АН Грузинской ССР. 1966. Т. XVIII, № 1. С. 3–8.

6.   Кокилашвили В.М. О приближении периодических функций // Тр. Тбилис. мат. ин-та. 1968. Т. 34. С. 51–81.

7.  Aljančić S. On the integral module of continuity in $L_p (1<p<\infty)$  of Fourier series with monotone coefficients // Proc. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 17, no. 2. P. 287–294.

8.   Тиман М.Ф. Обратные теоремы конструктивной теории функций в пространствах $L_p$\ $(1\le p\le \infty)$ // Мат. сб. 1958. Т. 46(88), № 1. С. 125–132.

9.   Тиман М.Ф. О теореме Джексона в пространствах $L_p$ // Укр. мат. журн. 1966. Т. 18, № 1. С. 134–137.

10.   Бесов О.В. О некоторых условиях принадлежности к $L_p$ производных периодических функций // Науч. докл. высш. школы. Физ-мат. науки. 1959. № 1. С. 13–17.

11.   Ильясов Н.А. О равносильности некоторых неравенств теории приближений периодических функций в пространствах $L_p(\mathbb T), 1 < p < \infty$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 2. С. 93–106. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-93-106 

12.   Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. об -ва. 1956. Т. 5. С. 483–522.

13.   Ильясов Н.А. Прямая теорема в разных метриках теории приближений периодических функций с монотонными коэффициентами Фурье // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23, № 3. С. 144–158. doi: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-144-158 

14.   Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 936 с.

15.   Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2 т. М.: Мир, 1965. Т. 1. 616 с.; Т. 2. 538 с.

16.   Riesz M. Sur les fonctions conjuguees // Math. Zeit. 1927. Bd. 27, no. 2. S. 218–244.

17.   Конюшков А.А. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье // Мат. сб. 1958. Т. 44(86), № 1. С. 53–84.

18.   Конюшков А.А. О наилучших приближениях при преобразовании коэффициентов Фурье методом средних арифметических и о рядах Фурье с неотрицательными коэффициентами // Сиб. мат. журн. 1962. Т. 3, № 1. С. 56–78.

19.   Quade E.S. Trigonometric approximation in the mean // Duke Math. J. 1937. Vol. 3, no. 3. P. 529–543.

20.   Жук В.В. Аппроксимация периодических функций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. 368 с.

21.   Ильясов Н.А. Теоремы вложения для некоторых классов периодических функций в $L_p,$ $1\le p\le \infty$  // Докл. АН СССР. 1984. Т. 276, № 6. С. 1301–1304.

22.   Ильясов Н.А. Теоремы вложения для структурных и конструктивных характеристик функций: дис. … канд. физ.-мат. наук / Бакин. гос. ун-т. Баку, 1987. 150 с.

23.   Ильясов Н.А. К неравенствам между наилучшими приближениями и модулями гладкости разных порядков периодических функций в $L_p, 1\le p\le \infty$  // Сингулярные интегральные операторы: темат. сб. науч. тр. Баку: Из-во Бакин. гос. ун-та, 1991. С. 40–52.

Поступила 8.09.2022

После доработки 17.10.2022

Принята к публикации 24.10.2022

Ильясов Ниязи Аладдин оглы
канд. физ.-мат. наук, доцент
старший науч. сотрудник отдела теории функций
Институт математики и механики национальной АН Азербайджана
г. Баку;
Московский центр фундаментальной и прикладной математики
г. Москва
e-mail: niyazi.ilyasov@gmail.com

Ссылка на статью: Н.А. Ильясов. Порядковые равенства в пространствах $L_p(\mathbb T), 1<p<\infty,$, для наилучших приближений и модулей гладкости производных периодических функций с монотонными коэффициентами Фурье // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 103-120

English

N.A. Il’yasov. Order equalities in the spaces $L_p(\mathbb T), 1<p<\infty$, for best approximations and moduli of smoothness of derivatives of periodic functions with monotone Fourier coefficients

Denote by $M_p^{(r)}(\mathbb T)$ the class of all functions $f\in L_p(\mathbb T)$ whose Fourier coefficients satisfy the conditions: $a_0(f)=0$, $0<n^ra_n(f)\downarrow 0$, and $0<n^rb_n(f)\downarrow 0$ $(n\uparrow \infty)$, where $1<p<\infty$, $r\in \mathbb N$, and $\mathbb T=(-\pi,\pi]$. We establish order equalities in the class $M_p^{(r)}(\mathbb T)$ between the best approximations $E_{n-1}(f^{(r)})_p$ by trigonometric  polynomials of order $n-1$ and the $k$th-order moduli of smoothness  $\omega_k(f^{(r)};\pi/n)_p$ of $r$th-order derivatives $f^{(r)}$, on the one hand,  and various expressions containing elements of the sequences $\{E_{\nu-1}(f^{(r)})_p\}_{\nu=1}^{\infty}$ and $\{\omega_l(f;\pi/\nu)_p\}_{\nu=1}^{\infty}$, where $l,k\in \mathbb N$ and $l>r$, on the other hand. The main results obtained in the present paper can be briefly described as follows. A necessary and sufficient condition for a function $f$ from $M_p^{(r)}(\mathbb T)$ to lie in the class $L_p^{(r)}(\mathbb T)$ (this class consists of all functions $f\in L_p(\mathbb T)$ with absolutely continuous $(r-1)$th derivatives $f^{(r-1)}$ and $f^{(r)}\in L_p(\mathbb T)$; here $f^{(0)}\equiv f$ and $L_p^{(0)}(\mathbb T)\equiv L_p(\mathbb T)$) is that one of the following equivalent conditions is satisfied:  

$E(f;p;r):=\big(\sum_{n=1}^{\infty}n^{pr-1}E_{n-1}^{p}(f)_p\big)^{1/p}<\infty \Leftrightarrow \Omega(f;p;l;r):= \big(\sum_{n=1}^{\infty}n^{pr-1}\omega_{l}^{p}(f;\pi/n)_p\big)^{1/p}<\infty$ $\Leftrightarrow\sigma(f;p;r):=\big(\sum_{n=1}^{\infty}n^{pr+p-2}(a_n(f)+b_n(f))^p\big)^{1/p}<\infty.$

Moreover, the following order equalities hold:
$(a)$ $E(f;p;r)\asymp \|f^{(r)}\|_p \asymp \sigma(f;p;r) \asymp\Omega(f;p;l;r);$
$(b)$  $E_{n-1}(f^{(r)})_p\asymp n^r E_{n-1}(f)_p+\big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}E_{\nu-1}^{p}(f)_p\big)^{1/p},\ n\in \mathbb N;$ 
$(c)$  $\omega_k(f^{(r)};\pi/n)_p\asymp n^{-k}\big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{p(k+r)-1}E_{\nu-1}^{p}(f)_p\big)^{1/p}+\big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}E_{\nu-1}^{p}(f)_p\big)^{1/p},\ n\in \mathbb N;$
$(d)$  $E_{n-1}(f^{(r)})_p+n^r\omega_l(f;\pi/n)_p\asymp \big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1} \omega_l^{p}(f;\pi/\nu)_p\big)^{1/p}\asymp \\ \asymp\omega_k(f^{(r)};\pi/n)_p+n^r\omega_l(f;\pi/n)_p,\ n\in \mathbb N,\ l<k+r;$
$(e)$  $n^{-(l-r)}\big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{p(l-r)-1}E_{\nu-1}^{p}(f^{(r)})_p\big)^{1/p}\asymp \big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}\omega_l^{p}(f;\pi/\nu)_p\big)^{1/p}\asymp \\ \asymp n^{-(l-r)}\big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{p(l-r)-1}\omega_k^p (f^{(r)};\pi/\nu)_p\big)^{1/p},\ n\in \mathbb N,\ l<k+r;$
$(f)$  $\omega_k(f^{(r)};\pi/n)_p \asymp \big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}\omega_l^{p}(f;\pi/\nu)_p\big)^{1/p},\ n\in \mathbb N,\ l=k+r;$
$(g)$  $\omega_k(f^{(r)};\pi/n)_p \asymp n^{-k}\big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{p(k+r)-1}\omega_l^{p}(f;\pi/\nu)_p\big)^{1/p}+\big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}\omega_l^{p}(f;\pi/\nu)_p\big)^{1/p}$, $n\in \mathbb N$, $l>k+r.$
In the general case, one cannot drop the term $n^r\omega_l(f;\pi/n)_p$ in item $(d)$ either in the lower estimate on the left-hand side (for $l>r$) or in the upper estimate on the right-hand side (for $r<l<k+r$). However, if $\{ E_{n-1}(f)_p\}_{n=1}^{\infty}\in B_l^{(p)}$ $(\Rightarrow \{E_{n-1}(f^{(r)})_p\}_{n=1}^{\infty}\in B_{l-r}^{(p)})$ or $\{\omega_l(f;\pi/n)_p\}_{n=1}^{\infty}\in B_l^{(p)}$ $(\Rightarrow \{ \omega_k(f^{(r)};\pi/n)_p\}_{n=1}^{\infty}\in B_{l-r}^{(p)})$, where $B_l^{(p)}$ is the class of all sequences $\{\varphi_n\}_{n=1}^{\infty}$ $(0<\varphi_n\downarrow 0$ as $n\uparrow \infty$) satisfying the Bari $(B_l^{(p)})$-condition: $n^{-l}\big(\sum_{\nu=1}^n \nu^{pl-1}\varphi_{\nu}^p\big)^{1/p}=\mathcal{O}(\varphi_n)$, $n\in\mathbb N$, which is equivalent to the Stechkin $(S_l)$-condition, then
$$
E_{n-1}(f^{(r)})_p\asymp \bigg(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}\omega_l^p\Big(f;\frac{\pi}{\nu}\Big)_p\bigg)^{1/p}\asymp \omega_k\Big(f^{(r)};\frac{\pi}{n}\Big)_p,\quad n\in \mathbb N.
$$

Keywords: best approximation, modulus of smoothness, direct and inverse theorems with derivatives of the theory of approximation of periodic functions, trigonometric Fourier series with monotone coefficients, order equalities

Received September 8, 2022

Revised October 17, 2022

Accepted October 24, 2022

Funding Agency: This research was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within a program of the Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics (agreement no. 075-15-2022-284).

Niyazi Aladdin ogly Il’yasov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Senior Research Fellow, Department of Theory of Functions, Institute of Mathematics and Mechanics of the National Academy of Sciences of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics, Moscow, Russia. e-mail: niyazi.ilyasov@gmail.com

Cite this article as: N.A. Il’yasov. Order equalities in the spaces Lp(T), 1 < p < ∞, for best approximations and moduli of smoothness of derivatives of periodic functions with monotone Fourier coefficients. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 4, pp. 103–120.

[References -> on the "English" button bottom right]