Б.М. Арыстанбеков, Н.Б. Мельников. Проекционный метод для задач экономического роста на бесконечном интервале времени ... С. 17-29

УДК 517.977

MSC: 65K10, 37N40, 93C95

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-17-29

Предложен проекционный метод для задач экономического роста на бесконечном интервале. В качестве базисных функций для параметризации решения используются ортогональные полиномы Лагерра, умноженные на экспоненту. Проведен численный анализ сходимости метода для интегрируемых случаев в модели Рамсея. Показано, что наилучшая сходимость метода достигается, если выбрать значение параметра в показателе экспоненты равным отрицательному собственному значению в матрице линеаризации гамильтоновой системы в неподвижной точке на бесконечности. В рассмотренных примерах проекционный метод приводит к системе уравнений с небольшим числом неизвестных в отличие от методов, использующих конечно-разностную аппроксимацию.

Ключевые слова: метод Галеркина, квадратура Гаусса — Лагерра, задача управления с бесконечным горизонтом, условия трансверсальности, модель Рамсея, функция полезности CRRA, замена Бернулли

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Boyd J.P. Chebyshev and Fourier spectral methods. 2nd edn. NY: Dover Publ., 2001. 688 p.

2.   Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling T., Flannery B.P. Numerical recipes. 3rd edn. NY: Cambridge Univ. Press, 2007. 1256 p.

3.   Judd K.L. Projection methods for solving aggregate growth models // J. Econ. Theory. 1992. Vol. 58, no. 2. P. 410–452. doi: 10.1016/0022-0531(92)90061-L 

4.   Miftakhova A., Schmedders K., Schumacher M. Computing economic equilibria using projection methods // Annu. Rev. Econ. 2020. Vol. 12. P. 317–353. doi: 10.1146/annurev-economics-080218-025711 

5.   Judd K.L. The parametric path method: an alternative to Fair–Taylor and L-B-J for solving perfect foresight models // J. Econ. Dyn. Control. 2002. Vol. 26, no. 9-10. P. 1557–1583. doi: 10.1016/S0165-1889(01)00085-9 

6.   Blanchard O.J., Fischer S. Lectures on macroeconomics. Cambridge, MA: MIT Press, 1993. 664 p.

7.   Barro J.R., Sala-i-Martin X. Economic growth. 2nd edn. Cambridge, MA: MIT Press, 2003. 672 p.

8.   Асеев С.М., Кряжимский А.В. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Труды МИАН. 2007. Т. 257. С. 3–271.

9.   Smith W.T. A closed form solution to the Ramsey model // J. Macroecon. 2006. Vol. 6, no. 1. P. 1–27. doi: 10.2202/1534-6005.1356 

10.   Lahiri S., Eckaus R.S., Babiker M. The Effects of changing consumption patterns on the costs of emission restrictions. MIT Joint Program on the Science and Policy of Global Change. Report no. 64. Cambridge, MA, 2000. 14 p.

11.   Melnikov N.B., O’Neill B.C., Dalton M.G. Accounting for household heterogeneity in general equilibrium economic growth models // Energy Econ. 2012. Vol. 34, no. 5. P. 1475–1483. doi: 10.1016/j.eneco.2012.06.010 

12.   Melnikov N.B., Gruzdev A.P., Dalton M.G., Weitzel M., O’Neill B.C. Parallel extended path method for solving perfect foresight models // Comput. Econ. 2021. Vol. 58, no. 2. P. 517–534. doi: 10.1007/s10614-020-10044-y 

13.   Boháček R., Kejak M. Projection methods for economies with heterogeneous agents: CERGE-EI Working Papers, WP258. Prague: CERGE-EI Publ., 2005. 32 p. (Working paper series: ISSN 1211-3298).

14.   Kelley C.T. Iterative methods for linear and nonlinear equations. Philadelphia: SIAM, 1995. 179 p. doi: 10.1137/1.9781611970944 

15.   Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 391 p.

16.   Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. NY: Dover Publ., 1972. 1076 p.

17.   Long J.B., Plosser C.I. Real business cycles // J. Political Econ. 1983. Vol. 91, no. 1. P. 39–69. doi: 10.1086/261128 

18.   Stokey N., Lucas R. Recursive methods in economic dynamics. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1989. 608 p.

19.   Chang F. The inverse optimal problem: A dynamic programming approach // Econometrica. 1988. Vol. 56, no. 1. P. 147–172. doi: 10.2307/1911845 

20.   Arystanbekov B.M., Melnikov N.B. Generalized Galerkin method for an infinite time-horizon economic growth problem // Теория оптимального управления и приложения (OCTA 2022): материалы Междунар. конф. / ред. А. М. Тарасьев, Т. Ф. Филиппова (Екатеринбург, 27 июня – 1 июля 2022 г.) Екатеринбург, 2022. С. 281–285.

21.   Красовский A.A., Лебедев П.Д., Тарасьев А.М. Замена Бернулли в модели Рэмзи: оптимальные траектории при ограничениях на управление // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2017. Т. 57, №5. C. 768–782.

22.   Oberman A.M. Convergent Difference Schemes for Degenerate Elliptic and Parabolic Equations: Hamilton–Jacobi Equations and Free Boundary Problems // SIAM J. Numerical Analysis. 2006. Vol. 44, no. 2. P. 879–895. doi: 10.1137/S0036142903435235 

23.   Achdou Y., Han J., Lasry J.-M., Lions P.-L., Moll B. Income and wealth distribution in macroeconomics: A continuous-time approach // Rev. Econ. Stud. 2022. Vol. 89, no. 1. P. 45–86. doi: 10.1093/restud/rdab002 

24.   Smith W.T. Inspecting the mechanism exactly: A closed-form solution to a stochastic growth model // J. Macroecon. 2007. Vol. 7, no. 1. P. 1–31. doi: 10.2202/1935-1690.1524 

Поступила 30.05.2022

После доработки 24.07.2022

Принята к публикации 1.08.2022

Арыстанбеков Батыр Маратович
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: arysbatyr@gmail.com

Мельников Николай Борисович
д-р физ.-мат. наук, доцент
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: melnikov@cs.msu.ru

Ссылка на статью: Б.М. Арыстанбеков, Н.Б. Мельников. Проекционный метод для задач экономического роста на бесконечном интервале времени // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. С. 17-29

English

B.M. Arystanbekov, N.B. Melnikov. Projection method for economic growth problems on an infinite time interval

A projection method is proposed for economic growth problems on an infinite interval. The orthogonal Laguerre polynomials multiplied by an exponential are used as the basis functions for the parametrization of the solution. Convergence of the method has been studied numerically for integrable cases in the Ramsey model. It is shown that the best convergence of the method is achieved if the parameter in the exponent is chosen to be equal to the negative eigenvalue of the linearization matrix of the Hamiltonian system at the equilibrium at infinity. In the considered examples, the projection method leads to a system of equations with a small number of unknowns, in contrast to the methods using finite difference approximation.

Keywords: Galerkin method, Gauss–Laguerre quadrature, infinite-horizon control problem, transversality conditions, Ramsey model, CRRA utility function, Bernoulli transformation

Received May 30, 2022

Revised July 24, 2022

Accepted August 1, 2022

Batyr Maratovich Arystanbekov, Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991 Russia, e-mail: arysbatyr@gmail.com

Nikolai Borisovich Melnikov, Dr. Phys.-Math. Sci., Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991 Russia, e-mail: melnikov@cs.msu.ru

Cite this article as: B.M. Arystanbekov, N.B. Melnikov. Projection method for economic growth problems on an infinite time interval. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 3, pp. 17–29.

[References -> on the "English" button bottom right]