А.В. Аргучинцев, В.А. Срочко. Решение линейно-квадратичной задачи на множестве кусочно-постоянных управлений с параметризацией функционала ... С. 5-16

УДК 517.977

MSC: 49M25

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-5-16

Работа выполнена при поддержке Благотворительного фонда Владимира Потанина (договор гранта ГСАД-0022/212).

Рассматривается линейно-квадратичная задача оптимального управления с произвольными матрицами в функционале и многомерным управлением с ограничением в каждый момент времени. Множество допустимых управлений составляют кусочно-постоянные вектор-функции относительно неравномерной сетки узлов дискретизации. Редукция задачи оптимального управления в конечномерный формат проводится с использованием характеристических функций сеточной структуры и блочных матриц вместе с соответствующей операцией скалярного произведения. Возможность воздействия на функционал исходной задачи обеспечивается с помощью положительных параметров при квадратичных формах. Выбор этих параметров ориентирован на регуляризацию функционала в смысле его приведения к выпуклой либо вогнутой структуре на уровне конечномерной модели. Условия на выбор параметров носят спектральный характер. Это неравенства относительно экстремальных собственных значений блочных матриц, формирующих целевую функцию. Соответствующие задачи выпуклой или вогнутой оптимизации допускают решение за конечное число итераций. В рамках исходной задачи оптимального управления на основе известных оценок для приращения функционала получено неградиентное условие глобальной оптимальности. Предложена процедура нелокального улучшения в терминологии функции Понтрягина.

Ключевые слова: линейно-квадратичная задача, кусочно-постоянное управление, функционал с параметрами, редукция к конечномерной модели, регуляризация задачи

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Rao A.V. A survey of numerical methods for optimal control // Adv. Astron. Sci. 2009. Vol. 135. P. 1–32.

2.   Golfetto W. A., da Silva Fernandes S. A review of gradient algorithms for numerical computation of optimal trajectories // J. Aerosp. Technol. Manag. 2012. Vol. 4. P. 131–143. doi: 10.5028/JATM.2012.04020512

3.   Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000. 160 с.

4.   Габасов Р., Кириллова Ф.М., Павленок Н.С. Построение программного и позиционного решений линейно-квадратичной задачи оптимального управления // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2008. Т. 48, № 10. C. 1748–1779. doi: 10.1134/S0965542508100023 

5.   Костюкова О.И, Федорцова Н.М. Исследование свойств решений линейно-квадратичных параметрических задач оптимального управления // Информационно-управляющие системы. 2012. № 4. C. 43–51.

6.   Grad J.R, Morris K.A. Solving the linear quadratic optimal control problem for infinite-dimensional systems // Computers Math. Applic. 1996. Vol. 32, no. 9. P. 99–119. doi: 10.1016/0898-1221(96)00180-0 

7.   Аргучинцев А.В., Срочко В.А. Процедура регуляризации билинейных задач оптимального управления на основе конечномерной модели // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр. 2022. Т. 18, Вып. 1. C. 180–188. doi: 10.21638/11701/spbu10.2022.115 

8.   Стрекаловский А.С. Элементы невыпуклой оптимизации. Новосибирск: Наука, 2003. 356 с.

9.   Strekalovsky A.S. On global maximum of a convex terminal functional in optimal control problems // J. Glob. Optim. 1995. Vol. 7. P. 75–91. doi: 10.1007/BF01100206

10.   Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655 с.

11.   Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. М.: Физматлит, 2005. 304 с.

12.   Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. 319 с.

13.   Коннов И.В. Нелинейная оптимизация и вариационные неравенства. Казань: Казан. ун-т, 2013. 508 с.

14.   Срочко В.А., Аксенюшкина Е.В., Антоник В.Г. Решение линейно-квадратичной задачи оптимального управления на основе конечномерных моделей // Изв. Иркутск. гос. ун-та. Сер. Математика. 2021. Т. 37. С. 3–16. doi:10.26516/1997-7670.2021.37.3 

15.   Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983. 384 с.

16.   Субботина Н.Н., Крупенников Е.А. Слабые со звездой аппроксимации решения задачи динамической реконструкции // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. С. 208–220. doi: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-208-220 

Поступила 30.05.2022

После доработки 5.07.2022

Принята к публикации 11.07.2022

Аргучинцев Александр Валерьевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Иркутский государственный университет
г. Иркутск
e-mail: arguch@math.isu.ru

Срочко Владимир Андреевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор
Иркутский государственный университет
г. Иркутск
e-mail: srochko@math.isu.ru

Ссылка на статью: А.В. Аргучинцев, В.А. Срочко. Решение линейно-квадратичной задачи на множестве кусочно-постоянных управлений с параметризацией функционала // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. С. 5-16

English

A.V. Arguchintsev, V.A. Srochko. Solution of a linear–quadratic problem on a set of piecewise constant controls with parametrization of the functional

A linear–quadratic problem of optimal control with arbitrary matrices in the cost functional and a multidimensional control constrained at every time is considered. The set of admissible controls consists of piecewise constant vector functions relative to a nonuniform discretization grid. The optimal control problem is reduced to a finite-dimensional form with the use of characteristic functions with grid structure and block matrices together with the corresponding operation of scalar product. Nonnegative parameters of the quadratic forms provide the possibility of regularization of the cost functional. The choice of these parameters is aimed at the regularization of the functional in the sense of its reduction to a convex or concave structure at the level of a finite-dimensional model. The conditions for these parameters are of spectral nature; they are inequalities with respect to extreme eigenvalues of the block matrices that form the objective function. The corresponding convex or concave optimization problems allow to solve the problem in a finite number of iterations. A nongradient condition of global optimality is obtained for the original problem of optimal control based on known estimates for the increment of the functional. A nonlocal refinement procedure in terms of Pontryagin’s function is proposed.

Keywords: linear–quadratic problem, multidimensional discrete control, functional with parameters, reduction to a finite-dimensional model, regularization of the problem

Received May 30, 2022

Revised July, 5 2022

Accepted July 11, 2022

Funding Agency: This work was supported by the Vladimir Potanin Foundation (grant no. GSAD-0022/212).

Alexander Valeryevich Arguchintsev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Irkutsk State University, Irkutsk, 664003 Russia, e-mail: arguch@math.isu.ru

Vladimir Andreevich Srochko, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Irkutsk State University, Irkutsk, 664003 Russia, e-mail: srochko@math.isu.ru

Cite this article as: A.V. Arguchintsev, V.A. Srochko. Solution of a linear–quadratic problem on a set of piecewise constant controls with parametrization of the functional. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 3, pp. 5–16.

[References -> on the "English" button bottom right]