А.И. Мачтакова, Н.Н. Петров. К линейной задаче группового преследования с дробными производными ... С. 129-141

УДК 517.977

MSC: 49N79, 49N70, 91A24

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-129-141

Работа выполнена при поддержке РНФ (проект 21-71-10070).

В конечномерном евклидовом пространстве рассматривается задача преследования группой преследователей одного убегающего, описываемая системой
\begin{gather*}
D^{(\alpha_i)}z_i = A_iz_i + B_iu_i - C_iv, \quad u_i\in U_i,\quad v\in V,
\end{gather*}
где $D^{(\alpha)}f$ — производная по Капуто порядка $\alpha$ функции $f.$ Множество допустимых управлений игроков — выпуклые компакты. Терминальное множество состоит из цилиндрических множеств $M_i$ вида
$$M_i = M_i^1 + M_i^2,$$ где $M_i^1$ — линейное подпространство фазового пространства, $M_i^2$ — выпуклый компакт из ортогонального дополнения к $M_i^1.$ Предложены два подхода к решению задачи, обеспечивающие окончание игры за определенное гарантированное время в классе квазистратегий. При первом подходе преследователи строят свои управления так, чтобы терминальные множества "покрывали" область неопределенности убегающего. При втором подходе преследователи строят свои управления, используя разрешающие функции. Теоретические результаты иллюстрируются на модельных примерах.

Ключевые слова: дифференциальная игра, групповое преследование, преследователь, убегающий, дробная производная

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Isaacs R. Differential games. NY: John Wiley & Sons. 1965, 408 p.

2.   Красовский  Н.Н., Субботин  А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

3.   Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Том 2. М.: Наука, 1988. 575 с.

4.   Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во МГУ, 1990. 198 с.

5.   Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наукова думка, 1992. 384 с.

6.   Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та, 2009. 266 с.

7.   Чикрий А.А., Матичин И.И. Игровые задачи для линейных систем дробного порядка // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15. № 3. С. 262–278.

8.   Gomoynov M.I. Solution to a zero-sum differential game with fractional dynamics via approximations // Dynamic Games and Applications. 2020. Vol. 10, no. 2. P. 417–443. doi: 10.1007/s13235-019-00320-4 

9.   Petrov N.N. Group pursuit problem in a differential game with fractional derivatives, state constraints, and simple matrix // Diff. Eq. 2019. Vol. 55, no. 6. P. 841–848. doi: 10.1134/S0012266119060119 

10.   Петров Н.Н., Мачтакова А.И. Поимка двух скоординированных убегающих в задаче с дробными производными, фазовыми ограничениями и простой матрицей // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. гос. ун-та. 2020. Т. 56, С. 50–62.

11.   Aubin J.P., Frankowska H. Set-Valued Analysis. Boston: Birkhauser, 1990. 461 p.

12.   Чикрий А.А., Матичин И.И. Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка // Доповiдi Нацiонаноi академii наук Украiни. 2007. № 1. C. 50–55.

13.   Петров Н.Н. Об управляемости автономных систем // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4, № 4. С. 606–617.

Поступила 30.05.2022

После доработки 7.07.2022

Принята к публикации 11.07.2022

Мачтакова Алёна Игоревна
аспирант
Удмуртский государственный университет
г. Ижевск;
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: bichurina.alyona@yandex.ru

Петров Николай Никандрович
д-р. физ.-мат. наук, профессор
Удмуртский государственный университет
г. Ижевск;
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: kma3@list.ru

Ссылка на статью: А.И. Мачтакова, Н.Н. Петров. К линейной задаче группового преследования с дробными производными // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. С. 129-141

English

A.I. Machtakova, N.N. Petrov. On a linear group pursuit problem with fractional derivatives

A problem of pursuit of one evader by a group of pursuers is considered in a finite-dimensional Euclidean space. The dynamics is described by the system
$$ D^{(\alpha_i)}z_i = A_iz_i + B_iu_i - C_iv, \quad u_i\in U_i,\quad v\in V, $$
where $D^{(\alpha)}f$ is the Caputo derivative of order $\alpha$ of a function $f$. The sets of admissible controls of the players are convex and compact. The terminal set consists of cylindrical sets $M_i$ of the form $M_i = M_i^1 + M_i^2$, where $M_i^1$ is a linear subspace of the phase space and $M_i^2$ is a convex compact set from the orthogonal complement of $M_i^1$. We propose two approaches to solving the problem, which ensure the termination of the game in a certain guaranteed time in the class of quasi-strategies. In the first approach, the pursuers construct their controls so that the terminal sets "cover" the evader's uncertainty region. In the second approach, the pursuers construct their controls using resolving functions. The theoretical results are illustrated by model examples.

Keywords: differential game, group pursuit, pursuer, evader, fractional derivative

Received May 30, 2022

Revised July 7, 2022

Accepted July 11, 2022

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 21-71-10070).

Alena Igorevna Machtakova, doctoral student, Udmurt State University, Izhevsk, 426034 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: bichurina.alyona@yandex.ru

Nikolai Nikandrovich Petrov, Dr. Phys.-Math. Sci, Prof., Udmurt State University, Izhevsk, 426034, Russia, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: kma3@list.ru

Cite this article as: A.I. Machtakova, N.N. Petrov. On a linear group pursuit problem with fractional derivatives. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 3, pp. 129–141.

[References -> on the "English" button bottom right]