А.Л. Казаков, A.А. Лемперт. Точные решения типа диффузионных волн для нелинейного вырождающегося параболического уравнения второго порядка ... С. 114-128

УДК 517.957

MSC: 35K10, 35K57, 35K67

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-114-128

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (проект № 20-07-00407 А); РФФИ и Министерства Науки и Технологии, Тайвань (проект № 20-51-S52003).

В настоящей статье рассмотрено нелинейное эволюционное параболическое уравнение второго порядка с вырождением, являющееся математической моделью ряда физических и биологических процессов. Для него изучена проблема построения и исследования точных решений, имеющих тип диффузионной (тепловой, фильтрационной) волны с заданным фронтом. Их построение осуществляется путем применения анзаца специального вида и сводится к интегрированию задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, которая наследует особенность исходной постановки. Для ее раскрытия применяется следующий трехэтапный подход. На первом этапе производится понижение порядка уравнения путем перехода в фазовую плоскость. Далее строится решение в виде ряда по степеням новой независимой переменной, в качестве которой выступает исходная искомая функция. Наконец, доказывается сходимость ряда посредством построения положительной мажоранты. Отдельный раздел работы посвящен отысканию конструктивной оценки радиуса сходимости ряда, которая, в частности, показывает, что последний существенно отличен от нуля. Предложенный подход к построению оценок обладает высокой адаптивной способностью, что позволяет существенно улучшить их при конкретном задании входящих констант.

Ключевые слова: нелинейное параболическое уравнение, диффузионная волна, точные решения, бегущая волна, ряд, сходимость

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Физматлит, 1966. 632 с.

2.   Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. 480 с.

3.   Андреев В.К., Гапоненко Ю.А., Гончарова О.Н., Пухначев В.В. Cовременные математические модели конвекции. М.: Физматлит, 2008. 368 c.

4.   Баренблатт Г.И., Ентов В.Н., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. 211 с.

5.   Vazquez J. The porous medium equation: Mathematical theory. Oxford: Clarendon Press, 2007. 624 p. doi: 10.1093/acprof:oso/9780198569039.001.0001 

6.   Murray J.D. Mathematical biology II: Spatial models and biomedical applications. Interdisciplinary applied mathematics. Vol. 18. NY: Springer, 2003. 837 p.

7.   Grindrod P. Patterns and waves: Theory and applications of reaction-diffusion equations. NY: Clarendon Press, 1991. 239 p.

8.   Stepanova I.V. Group analysis of variable coefficients heat and mass transfer equations with power nonlinearity of thermal diffusivity // Appl. Math. Comput. 2019. Vol. 343. P. 57–66. doi: 10.1016/j.amc.2018.09.036 

9.   Bekezhanova V.B., Stepanova I.V. Evaporation convection in two-layers binary mixtures: equations, structure of solution, study of gravity and thermal diffusion effects on the motion // Appl. Math. Comput. 2022. Vol. 414. Art. no. 126424. doi: 10.1016/j.amc.2021.126424 

10.   Cantrell R.S., Cosner C. Spatial ecology via reaction–diffusion equations. Chichester: Wiley, 2003. 432 p.

11.   Perthame B. Parabolic equations in biology. Growth, reaction, movement and diffusion. NY: Springer, 2015. 211 p. doi: 10.1007/978-3-319-19500-1

12.   Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 738 с.

13.   DiBenedetto E. Degenerate Parabolic Equations. NY: Springer-Verlag, 1993. 388 p. doi: 10.1007/978-1-4612-0895-2 

14.   Сидоров А.Ф. Избранные труды: Математика. Механика. М.: Физматлит. 2001. 576 с.

15.   Зельдович Я.Б., Компанеец А.С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры // Сборник, посвященный 70-летию А.Ф. Иоффе. 1950. С. 61–71.

16.   Васин В.В., Сидоров А.Ф. О некоторых методах приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений // Известия вузов. Математика. 1983. № 7. C. 13–27.

17.   Курант Р. Уравнения с частными производными. Т. 2. М.: Мир, 1964. 830 с.

18.   Филимонов М.Ю. Использование метода специальных рядов для представления решений начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 8. С. 1100–1107.

19.   Филимонов М.Ю. Применение метода специальных рядов для построения новых классов решений нелинейных уравнений с частными производными // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 6. С. 801–808.

20.   Filimonov M.Yu. Representation of solutions of boundary value problems for nonlinear evolution equations by special series with recurrently calculated coefficients // Journal of Physics: Conference Series. 2019. Vol. 1268. Art. no. 012071. doi: 10.1088/1742-6596/1268/1/012071 

21.   Коврижных О.О. О построении асимптотического решения нелинейного вырождающегося параболического уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2003. Т. 43, № 10. С. 1487–1493.

22.   Баутин С.П., Елисеев А.А. Многомерная аналитическая тепловая волна, определяемая краевым режимом // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 8. С. 1052–1062.

23.   Казаков А.Л., Кузнецов П.А., Спевак Л.Ф. Об одной краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности в сферических координатах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 119–129.

24.   Kazakov A., Lempert A. Diffusion-wave type solutions to the second-order evolutionary equation with power nonlinearities // Mathematics. 2022. Vol. 10, № 2. Art. no. 232. doi: 10.3390/math10020232 

25.   Казаков А.Л., Орлов С.С. О некоторых точных решениях нелинейного уравнения теплопроводности // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 1. С. 112–123.

26.   Казаков А.Л., Лемперт А.А. Аналитическое и численное исследование одной краевой задачи нелинейной фильтрации с вырождением // Вычисл. технологии. 2012. Т. 17, № 1. С. 57–68.

27.   Казаков А.Л., Орлов Св.С., Орлов С.С. Построение и исследование некоторых точных решений нелинейного уравнения теплопроводности // Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59, № 3. С. 544–560. doi: 10.17377/smzh.2018.59.306 

28.   Казаков А.Л. О точных решениях краевой задачи о движении тепловой волны для уравнения нелинейной теплопроводности // Сиб. электрон. мат. изв. 2019. Т. 16. С. 1057–1068. doi: 10.33048/semi.2019.16.073

29.   Рубина Л.И., Ульянов О.Н. Об одном методе решения уравнения нелинейной теплопроводности // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 5. С. 1091–1101.

30.   Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Нелинейные уравнения математической физики и механики. Методы решения. М.: Изд-во Юрайт, 2017. 256 c.

31.   Kazakov A. Solutions to nonlinear evolutionary parabolic equations of the diffusion wave type // Symmetry. 2021. Vol. 13, no. 5. Art. no. 871. doi: 10.3390/sym13050871 

32.   Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Определения, теоремы, формулы. М.: Лань, 2003. 832 с.

33.   Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1978. 688 с.

Поступила 23.05.2022

После доработки 31.05.2022

Принята к публикации 6.06.2022

Казаков Александр Леонидович
д-р физ.-мат. наук, профессор
главный науч. сотрудник
Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН
г. Иркутск
e-mail: kazakov@icc.ru

Лемперт Анна Ананьевна
канд. физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН
г. Иркутск
e-mail: lempert@icc.ru

Ссылка на статью: А.Л. Казаков,  A.А. Лемперт. Точные решения типа диффузионных волн для нелинейного вырождающегося параболического уравнения второго порядка // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. С. 114-128

English

A.L. Kazakov, A.A. Lempert. Exact solutions of diffusion wave type for a nonlinear second-order parabolic equation with degeneration

The paper deals with a nonlinear evolutionary second-order parabolic equation with degeneration, which is a mathematical model for a number of physical and biological processes. We consider the problem of constructing and exploring exact solutions having the type of diffusion (heat, filtration) wave with a specified front. By applying a special kind of ansatz, their construction reduces to the integration of the Cauchy problem for an ordinary differential equation, which inherits the singularity of the original formulation. A three-stage approach is proposed to eliminate the singularity. At the first stage, the order of the equation is reduced by passing to the phase plane. Next, a solution is constructed in the form of a series in powers of a new independent variable, which previously was the original unknown function. Finally, the convergence of the series is proved by constructing a positive majorant. A special section is devoted to finding a constructive estimate of the convergence radius of the series. This estimate, in particular, shows that the radius is considerably different from zero. The proposed approach to the construction of estimates is highly adaptive, which allows us to improve the obtained estimates significantly if the input constants are specified.

Keywords: nonlinear parabolic equation, diffusion wave, exact solutions, traveling wave, series, convergence

Received May 23, 2022

Revised May 31, 2022

Accepted June 6, 2022

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 20-07-00407 A) and jointly by the Russian Foundation for Basic Research and the Taiwan Ministry of Science and Technology (project no. 20-51-S52003).

Alexander Leonidovich Kazakov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, Irkutsk, 664033 Russia, e-mail: kazakov@icc.ru

Anna Anan’evna Lempert, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, Irkutsk, 664033 Russia, e-mail: lempert@icc.ru

Cite this article as: A.L. Kazakov, A.A. Lempert. Exact solutions of diffusion wave type for a nonlinear second-order parabolic equation with degeneration. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 3, pp. 114–128.

[References -> on the "English" button bottom right]