В.В. Напалков (мл.), А.А. Нуятов. Об одном условии совпадения пространств преобразований функционалов гильбертова пространства ... С. 142-154

УДК 517.444

MSC: 46E22, 47B32, 30H05, 32A38

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-3-142-154

В работе рассматривается следующая задача. Пусть $H$ —  некоторое гильбертово пространство  с воспроизводящим ядром, состоящее из функций, заданных на множестве $\Omega\subset {\mathbb  C}^n, n\ge1$, и $\{e_1(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$,
$\{e_2(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$ —  некоторые полные системы функций в $H$, $\Omega_1\subset {\mathbb C^m},\, m\ge1$. Обозначим
\begin{align*}
\widetilde f(z)\stackrel{def}{=}(e_1(\cdot, z), f)_{H}\, \forall z\in \Omega_1,\quad \widetilde H=\{\widetilde f,\, f\in H\},
\\ (\widetilde f_1,\widetilde f_2)_{\widetilde H}\stackrel{def}{=}(f_2,f_1)_{H}, \,
\|\widetilde f_1\|_{\widetilde H}=\|f_1\|_{H} \quad\forall \widetilde  f_1,\widetilde f_2\in \widetilde H,
\\
\widehat f(z)\stackrel{def}{=}(e_2(\cdot, z), f)_{H}\, \forall z\in \Omega_1,\quad \widehat H=\{\widehat f,\, f\in H\},
\\ (\widehat f_1,\widehat f_2)_{\widehat H}\stackrel{def}{=}(f_2,f_1)_{H}, \,
\|\widehat f_1\|_{\widehat H}=\|f_1\|_{H} \quad\forall \widehat  f_1,\widehat f_2\in \widehat H.
\end{align*}
Необходимо найти условие, при выполнении которого пространства $\widehat H$ и $\widetilde H$ совпадают, т. е. $\widehat H$ и $\widetilde H$ состоят из одних и тех же функций  и
\[
\|f\|_{\widehat H}=\|f\|_{\widetilde H}\ \ \forall f\in \widehat H=\widetilde H.
\]
Также изучается вопрос: при каких условиях пространства $\widehat H$ и $\widetilde H$ эквивалентны? В случае, когда системы функций $\{e_j(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1},\, j=1,2$,  являются ортоподобными системами разложения в пространстве $H$ с одной и той же мерой $\mu$, заданной на $\Omega_1$,  в этой статье установлен критерий; найдено условие, которое является необходимым и достаточным для того, чтобы пространства $\widehat H$ и $\widetilde H$ совпадали (были  эквивалентны). Отметим, что в случае произвольного пространства $H$  и произвольных полных в $H$ систем функций $\{e_1(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$, $\{e_2(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$  найденное условие всегда является необходимым, т. е. если пространства $\widehat H$ и $\widetilde H$ совпадают (эквивалентны), то это условие выполнено.  В случае когда системы функций $\{e_1(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$, $\{e_2(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$ являются ортоподобными системами разложения в пространстве $H$ с разными мерами $\mu_1$ и $\mu_2$, соответственно, заданными  на $\Omega_1$, в этой статье построены примеры конкретных пространств $H$, конкретных полных в $H$ систем функций  $\{e_1(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$, $\{e_2(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$ таких, что указанное условие выполнено, однако пространства  $\widehat H$ и $\widetilde H$  не совпадают (не эквивалентны).

Ключевые слова: cистемы разложения, подобные ортогональным, гильбертово пространство с воспроизводящим ядром, базис Рисса, задача описания сопряженного пространства

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М: Мир, 1970, 351 с.

2.   Лукашенко  Т.П. О свойствах систем разложения подобных ортогональным // Изв. РАН. Сер. математическая. 1998. Т. 62, № 5. С. 187–206.

3.   Напалков В. В., Напалков В. В. (мл.) Об изоморфизме гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром // Докл. АН. 2017. Т. 474, № 6. C. 665–667

4.   Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984, 752 с.

5.   Левин Б. Я., Любарский Ю. И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент// Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1975. Т. 39, №3. C. 657–702.

6.   Напалков В. В. (мл.) Об ортоподобных системах разложения в пространствe аналитических функций и задаче описания сопряженного пространства, Уфим. мат. журн. 2011. Т.  3, №1. C. 31–42.

7.   Исаев К.П. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых областях: дис. …канд. физ.-мат. наук / Ин-т математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: 2004. 173 c.

8.   Исаев К. П., Юлмухаметов Р.С. Об отсутствии безусловных базисов из экспонент в пространствах Бергмана на областях, не являющихся многоугольниками // Изв. РАН. Сер. математическая. 2007. T. 71, №6. C. 69–90.

9.   Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной области. М: Мир, 1986. 216 с.

10.   Напалков В. В., Напалков В. В. (мл.) К вопросу о совпадении гильбертовых пространств с воспроизводящими ядрами, связанных специальным преобразованием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т.25, № 2. С.149–159. doi: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-149-159 

Поступила 28.04.2022

После доработки 10.08.2022

Принята к публикации 15.08.2022

Напалков Валерий Валентинович
д-р физ.-мат. наук, науч. сотрудник
Институт математики c ВЦ УФИЦ РАН
г. Уфа
e-mail: vnap@mail.ru

Нуятов Андрей Александрович
канд. физ.-мат. наук, преподаватель
ННГУ имени Н.И. Лобачевского
г. Нижний Новгород
e-mail: nuyatov1aa@rambler.ru

Ссылка на статью: В.В. Напалков (мл.),  А.А. Нуятов. Об одном условии совпадения пространств  преобразований функционалов гильбертова пространства // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022.Т. 28, № 3. С. 142-154

English

V.V. Napalkov (jr.), A.A. Nuyatov. On a condition for the coincidence of transform spaces for functionals in a Hilbert space

The paper considers the following problem. Let $H$ be some reproducing kernel Hilbert space consisting of functions given on a set $\Omega\subset {\mathbb C}^n$, $n\ge1$, and let $\{e_1(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$ and $\{e_2(\cdot,\xi)\}_{\xi\in\Omega_1}$ be some complete systems of functions in $H$, where $\Omega_1\subset {\mathbb C^m}$, $m\ge1$. Define
\begin{align*} \widetilde f(z)\stackrel{\mathrm{def}}{=}(e_1(\cdot, z), f)_{H}\, \forall z\in \Omega_1,\quad \widetilde H=\{\widetilde f,\, f\in H\}, \\
(\widetilde f_1,\widetilde f_2)_{\widetilde H}\stackrel{\mathrm{def}}{=}(f_2,f_1)_{H}, \, \|\widetilde f_1\|_{\widetilde H}=\|f_1\|_{H}\quad\forall \widetilde f_1,\widetilde f_2\in \widetilde H, \\
\widehat f(z)\stackrel{\mathrm{def}}{=}(e_2(\cdot, z), f)_{H}\, \forall z\in \Omega_1,\quad \widehat H=\{\widehat f,\, f\in H\}, \\
(\widehat f_1,\widehat f_2)_{\widehat H}\stackrel{\mathrm{def}}{=}(f_2,f_1)_{H}, \, \|\widehat f_1\|_{\widehat H}=\|f_1\|_{H} \quad\forall \widehat f_1,\widehat f_2\in \widehat H.
\end{align*}
It is required to find a condition under which the spaces $\widehat H$ and $\widetilde H$ coincide, i.e., $\widehat H$ and~$\widetilde H$ consist of the same functions and
\[ \|f\|_{\widehat H}=\|f\|_{\widetilde H}\ \  \forall f\in \widehat H=\widetilde H. \]
We also study the question of conditions under which the spaces $\widehat H$ and $\widetilde H$ are equivalent. In the case when the systems of functions $\{e_j(\cdot,\xi)\}_{\xi\in\Omega_1}$, $j=1,2$, are orthosimilar decomposition systems in the space $H$ with the same measure $\mu$ given on $\Omega_1$, a criterion is established; more exactly, a condition is found that is necessary and sufficient for the coincidence (equivalence) of the spaces $\widehat H$ and $\widetilde H$. Note that, in the case of an arbitrary space $H$ and arbitrary systems of functions $\{e_1(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$ and $\{e_2(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$ that are complete in $H$, the found condition is always necessary; i.e., if the spaces $\widehat H$ and $\widetilde H$ coincide (are equivalent), then this condition is fulfilled. In the case when the systems of functions $\{e_1(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$ and $\{e_2(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$ are orthosimilar decomposition systems in the space $H$ with different measures $\mu_1$ and $\mu_2$, respectively, given on $\Omega_1$, we construct specific examples of  spaces $H$ and systems of functions $\{e_1(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$ and $\{e_2(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$ complete in $H$ and such that the specified condition is met, but the spaces $\widehat H$ and $\widetilde H$ are not the same (not equivalent).

Keywords: orthosimilar decomposition systems, reproducing kernel Hilbert space, Riesz basis, problem of describing the dual space

Received April 28, 2022

Revised August 10, 2022

Accepted August 15, 2022

Valerii Valentinovich Napalkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Institute of Mathematics, Ufa Federal Research Centre RAS, Ufa, 450077 Russia, e-mail: vnap@mail.ru

Andrey Alexandrovich Nuyatov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, Nizhny Novgorod, 603950 Russia, e-mail: nuyatov1aa@rambler.ru

Cite this article as: V.V. Napalkov (jr.), A.A. Nuyatov. On a condition for the coincidence of transform spaces for functionals in a Hilbert space. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 3, pp. 142–154.

[References -> on the "English" button bottom right]