Д.И. Борисов, Л.И. Газизова. Ряды Тейлора для резольвент операторов на графах с малыми ребрами ... С. 40-57

УДК 517.984

MSC: 34B45, 34L05, 34E15, 34E05

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-40-57

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 20-11-19995).

В работе рассматривается эллиптический самосопряженный оператор второго порядка на графе с малыми ребрами. Такой граф получается путем сжатия в $\varepsilon^{-1}$ раз одного заданного графа с последующим приклеиванием его к другому фиксированному графу; здесь $\varepsilon$ - малый положительный параметр. Никаких существенных ограничений на эту пару графов не накладывается. На таком графе задается общий самосопряженный эллиптический оператор второго порядка, его дифференциальное выражение содержит производные всех порядков с переменными коэффициентами и переменный потенциал. Граничные условия в вершинах графа также выбираются общего вида. Все коэффициенты как в дифференциальном выражении, так и в граничных условиях могут дополнительно зависеть от малого параметра $\varepsilon$; данная зависимость предполагается аналитической.  Ранее было установлено, что части резольвенты рассматриваемого оператора, соответствующие ее сужениям на ребра фиксированной длины и на малые ребра, аналитичны по $\varepsilon$ как операторы в соответствующих пространствах, при этом сужение на малые ребра следует дополнительно обернуть парой операторов растяжения. Аналитичность означает возможность представления этих операторов в виде соответствующих рядов Тейлора. Первый основной результат настоящей работы - процедура, аналогичная согласованию асимптотических разложений, для рекуррентного определения всех коэффициентов данных рядов Тейлора. Второй основной результат - представление резольвенты сходящимся рядом, аналогичным ряду Тейлора с эффективными оценками остатков.

Ключевые слова: граф, малое ребро, эллиптический оператор, резольвента, аналитичность, ряд Тейлора, согласование асимптотических разложений

CПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А.  Дифференциальные уравнения на геометрических графах. M: Физматлит, 2005. 272 с.

2.   Berkolaiko G., Kuchment P. Introduction to quantum graphs. Providence: Americ. Math. Soc., 2013. 270 p.

3.   Cheon T., Exner P., Turek O. Approximation of a general singular vertex coupling in quantum graphs // Ann. Phys. 2010. Vol. 325, № 3. P. 548–578. doi: 10.1016/j.aop.2009.11.010 

4.   Жиков В.В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах // Изв. РАН. Сер. математическая. 2002. Т. 66, № 2. С. 81–148.

5.   Berkolaiko G., Latushkin Yu., Sukhtaiev S. Limits of quantum graph operators with shrinking edges // Adv. Math. 2019. Vol. 352. P. 632–669. doi: 10.1016/j.aim.2019.06.017 

6.   Cacciapuoti C. Scale invariant effective hamiltonians for a graph with a small compact core // Symmetry. 2019. Vol. 11, no. 3. Art. no. 359. doi: 10.3390/sym11030359 

7.   Борисов Д.И., Коныркулжаева М.Н. Возмущение края непрерывного спектра простейшего графа с малым ребром // Проблемы мат. анализа. 2019. Вып. 97. С. 15–30.

8.   Борисов Д.И., Мухаметрахимова  А.И. О модельном графе с петлей и малыми ребрами // Проблемы мат. анализа. 2020. Вып. 106. С. 17–42.

9.   Борисов Д.И., Коныркулжаева М.Н., Мухаметрахимова А.И. О дискретном спектре модельного графа с петлей и малыми ребрами // Проблемы мат. анализа. 2021. Вып. 111. С. 3–17.

10.   Maz’ya V., Nazarov S., Plamenevskii B. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains. Vol. I, II. Basel: Birkhäuser Verlag, 2000. 758 p.

11.   Ильин А.М. Согласование асимтотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.

12.   Borisov D.I. Analyticity of resolvents of elliptic operators on quantum graphs with small edges // Adv. Math. 2021. Art. no. 108125. doi: 10.1016/j.aim.2021.108125 

13.   Borisov D.I. Spectra of elliptic operators on quantum graphs with small edges // Mathematics. 2021. Vol. 9, № 16. Art. no. 1874. doi: 10.3390/math9161874 

14.   Berkolaiko G., Kuchment P. Dependence of the spectrum of a quantum graph on vertex conditions and edge lengths // Spectral Geometry. Providence: Amer. Math. Soc., RI, 2012. P. 117–137. (Ser. Proc. Sympos. Pure Math.; vol. 84.)

Поступила 30.11.2021

После доработки 17.12.2021

Принята к публикации 27.12.2021

Борисов Денис Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор РАН
главный науч. сотрудник, зав. отделом
Институт математики
с вычислительным центром УФИЦ РАН
г. Уфа
e-mail: borisovdi@yandex.ru

Газизова Лейсан Ильдаровна
аспирант
Институт математики
с вычислительным центром УФИЦ РАН
г. Уфа
e-mail: gazizovalejsa@gmail.com

Ссылка на статью: Д.И. Борисов, Л.И. Газизова. Ряды Тейлора для резольвент операторов на графах с малыми ребрами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 40-57

English

D.I. Borisov, L.I. Gazizova. Taylor series for resolvents of operators on graphs with small edges

We consider a second-order elliptic self-adjoint operator on a graph with small edges. Such a graph is obtained by compressing a given graph by a factor of $\varepsilon^{-1}$ and then gluing it to another fixed graph; here $\varepsilon$ is a small positive parameter. No significant constraints are imposed on this pair of graphs. On such a graph, a general second-order self-adjoint elliptic operator is specified; its differential expression contains derivatives of all orders with variable coefficients and a variable potential. The boundary conditions at the vertices of the graph are also chosen in a general form. All coefficients both in the differential expression and in the boundary conditions can additionally depend on the small parameter $\varepsilon$; this dependence is assumed to be analytical. As was established earlier, the parts of the resolvent of the operator corresponding to the restrictions of the resolvent to the edges of fixed length and to the small edges are analytic in $\varepsilon$ as operators in the corresponding spaces, and the restriction to the small edges should be additionally wrapped by a pair of expansion operators. Analyticity means the possibility to represent these operators in the form of the corresponding Taylor series. The first main result of the paper is a procedure similar to the matching of asymptotic expansions for the recursive determination of all coefficients of these Taylor series. The second main result is the representation of the resolvent by a convergent series similar to a Taylor series with effective estimates of the residuals.

Keywords: graph, small edge, elliptic operator, resolvent, analyticity, Taylor series, matching of asymptotic expansions

Received November 30, 2021

Revised December 17, 2021

Accepted December 27, 2021

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 20-11-19995).

Denis Ivanovich Borisov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Institute of Mathematics of Ufa Federal Research Center of Russian Academy of Sciences, Ufa, 450008 Russia, e-mail: borisovdi@yandex.ru

Lejsan Ildarovna Gazizova, doctoral student, Institute of Mathematics of Ufa Federal Research Center of Russian Academy of Sciences, Ufa, 450008 Russia, e-mail: gazizovalejsa@gmail.com

Cite this article as: D.I. Borisov, L.I. Gazizova. Taylor series for resolvents of operators on graphs with small edges, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 40–57.

[References -> on the "English" button bottom right]