А.Р. Данилин, О.О. Коврижных. Асимптотика решения одной задачи быстродействия с неограниченным целевым множеством для линейной системы в критическом случае ... С. 58-73

УДК 517.977

MSC: 93C70, 49N05

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-58-73

В настоящей работе исследована задача оптимального быстродействия для сингулярно возмущенной линейной автономной системы с гладкими геометрическими ограничениями на управление в виде шара и неограниченным целевым множеством:
$$
 \left\{
\!\!\!\!\! \begin{array}{llll}
 &\dot{x}=y,\,&\  x,\,y\in \mathbb {R}^{2m},\quad u\in \mathbb {R}^{2m},\\[1ex]
& \varepsilon^2\dot{y}=Jy+u,&\,\|u\|\leqslant 1,\quad 0<\varepsilon\ll 1,\\[1ex]
& x(0)=x^0\neq 0,\quad y(0)=y^0,\\[1ex]
& x(T_\varepsilon)=0,\quad T_\varepsilon \longrightarrow \min,&
 \end{array}
 \right.
$$
где
$
 J=\displaystyle\left(\begin{array}{rr} 0&I_m \\ 0&0\end{array}\right).
$ Основное отличие от ранее рассмотренных систем с быстрыми и медленными переменными заключается в том, что в данном случае матрица при быстрых переменных представляет собой многомерный аналог жордановой клетки второго порядка с нулевым собственным числом и, следовательно,  не удовлетворяет стандартному условию асимптотической устойчивости. Доказана разрешимость задачи. Выписана основная система уравнений для нахождения решения. В случае $m=1$ получена и обоснована полная асимптотика в смысле Пуанкаре по асимптотической последовательности $\varepsilon^q\ln^p\varepsilon$, $q\in\mathbb {N}$, $q-1\ge p\in\mathbb {N}\cup\{0\}$ времени быстродействия и вектора, порождающего оптимальное управление.

Ключевые слова: оптимальное управление, задача быстродействия, неограниченное целевое множество, сингулярно возмущенная задача, асимптотическое разложение, малый параметр

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.    Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 391 c.

2.   Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы. М.: Наука, 1968. 476 c.

3.   Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. №. 1. С. 3–51.

4.   Zhang Y., Naidu D.S., Cai C., and Zou Y. Singular perturbations and time scales in control theories and applications: an overview 2002–2012 // Inter. Journal of Informaton and Systems Sciences. 2014. vol. 9, no. 1. pp. 1–36.

5.   Kokotovic P.V., Haddad A.H. Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast modes // IEEE Trans. Automat. Control. 1975. Vol. 20, no. 1. P. 111–113. doi: 10.1109/TAC.1975.1100852 

6.   Дончев А. Системы оптимального управления: Возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987. 156 c.

7.   Donchev A.L., Veliev V.M. Singular Perturbation in Mayer’s Problem for Linear Systems // SIAM J. Control Optim. 1983. vol. 21, no. 4. pp. 566–581.

8.   Курина Г.А., Нгуен Т.Х. Асимптотическое решение сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач оптимального управления с разрывными коэффициентами // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2012. Т. 52, № 4. С. 628–652.

9.   Kurina G.А., Hoai N.T. Projector approach for constructing the zero order asymptotic solution for the singularly perturbed linear-quadratic control problem in a critical case // AIP Conference Proc. 2018. vol. 1997. Art. no. 020073. doi: 10.1063/1.5049067 

10.   Nguyen T.H. Asymptotic solution of a singularly perturbed optimal problem with integral constraint // J. Optim. Theory Appl. 2021. Vol. 190, no. 3. P. 931–950. doi: 10.1007/s10957-021-01916-w 

11.   Шабуров А.А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества и гладкими геометрическими ограничениями на управление // Вест. Тамбов. ун-та. Сер.: естествен. и техн. науки. 2019. Т. 24, № 125. С. 119–614. doi: 10.20310/1810-0198-2019-24-125-119-136 

12.   Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 c.

13.   Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МГУ, 1978. 106 c.

14.   Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 c.

15.   Данилин А.Р., Коврижных О.О. Асимптотика оптимального времени перевода линейной управляемой системы с нулевыми вещественными частями собственных значений матрицы при быстрых переменных на неограниченное целевое множество // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 1. C. 48–61. doi: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-48-61 

16.   Данилин А.Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабилизирующемся непрямом управлении в сингулярном случае // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2006. Т. 46, № 12. С. 2166–2177.

17.   Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит, 2009. 248 с. ISBN: 978-5-9221-1056-3 .

18.   Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. 752 c.

Поступила 11.08.2021

После доработки 22.11.2021

Принята к публикации 29.11.2021

Данилин Алексей Руфимович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
e-mail: dar@imm.uran.ru

Коврижных Ольга Олеговна, канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: koo@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.Р. Данилин, О.О. Коврижных. Асимптотика решения одной задачи быстродействия с неограниченным целевым множеством
для линейной системы в критическом случае // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 58-73

English

A.R. Danilin, O.O. Kovrizhnykh. Asymptotics of a solution to a time-optimal control problem with an unbounded target set in the critical case

We study a time-optimal control problem for a singularly perturbed linear autonomous system with smooth geometric constraints on the control in the form of a ball and an unbounded target set:
$$
 \left\{
\!\!\!\!\! \begin{array}{llll}
 &\dot{x}=y,\,&\  x,\,y\in \mathbb {R}^{2m},\quad u\in \mathbb {R}^{2m},\\[1ex]
& \varepsilon^2\dot{y}=Jy+u,&\,\|u\|\leqslant 1,\quad 0<\varepsilon\ll 1,\\[1ex]
& x(0)=x^0\neq 0,\quad y(0)=y^0,\\[1ex]
& x(T_\varepsilon)=0,\quad T_\varepsilon \longrightarrow \min,&
 \end{array}
 \right.
$$
where
$\displaystyle J=\left(\begin{array}{rr} 0&I_m \\ 0&0\end{array}\right). $ The main difference of this case from the systems with fast and slow variables studied earlier is that here the matrix at the fast variables is a multidimensional analog of the second-order Jordan cell with zero eigenvalue, and thus does not satisfy the standard condition of asymptotic stability. The solvability of the problem is proved. The main system of equations for finding a solution is written. In the case $m=1$, we derive and justify a complete asymptotics in the sense of Poincaré with respect to the asymptotic sequence $\varepsilon^q\ln^p\varepsilon$, $q\in\mathbb {N}$, $q-1\ge p\in\mathbb {N}\cup\{0\}$, of the optimal time and of the vector generating the optimal control.

Keywords: optimal control, time-optimal control problem, unbounded target set, singularly perturbed problem, asymptotic expansion, small parameter

Received August 11, 2021

Revised November 22, 2021

Accepted November 29, 2021

Aleksei Rufimovich Danilin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; e-mail: dar@imm.uran.ru

Ol’ga Olegovna Kovrizhnykh, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: koo@imm.uran.ru

Cite this article as: A.R. Danilin, O.O. Kovrizhnykh. Asymptotics of a solution to a time-optimal control problem with an unbounded target set in the critical case, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 58–73.

[References -> on the "English" button bottom right]