В.И. Трофимов. О гипотезе Вайса. I ... С. 247-256

УДК 512.542+519.175.1

MSC: 05E18, 20B25

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-247-256

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта 20-01-00456.

Пусть $\Gamma$ - связный конечный граф и $G$ - вершинно-транзитивная группа автоморфизмов графа $\Gamma$ такая, что стабилизатор $G_x$ в ней вершины $x$ графа $\Gamma$ индуцирует на множестве $\Gamma(x)$ смежных с $x$ вершин примитивную группу $G_x^{\Gamma(x)}$. Гипотеза Вайса утверждает, что при этих предположениях порядок группы $G_x$ ограничен числом, зависящим лишь от степени $|\Gamma(x)|$ графа $\Gamma$. Цель работы, первой частью которой является эта статья, - продемонстрировать, что полученные в теории конечных групп общие результаты могут быть использованы для в значительной мере единообразного рассмотрения многих случаев (включая ряд не рассмотренных ранее случаев) гипотезы Вайса. Настоящая первая часть работы является, по существу, вводной. Однако уже этого предварительного рассмотрения оказывается достаточно, чтобы с использованием предшествующих результатов показать, что гипотеза Вайса справедлива для всех примитивных групп $G_x^{\Gamma(x)}$, отличных от почти простых групп и от экспоненцирований последних (т.е. групп типа PA).

Ключевые слова:  граф, группа автоморфизмов, гипотеза Вайса

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Chermak A. Quadratic action and the ${\mathcal P}(G,V)$-theorem in arbitrary characteristic // J. Group Theory. 1999. Vol. 2, no. 1. P. 1–13. doi: 10.1515/jgth.1999.002 

2.   Dixon J. D., Mortimer B. Permutation groups. NY etc.: Springer-Verlag, 1996. 346 p.

3.   Kurzweil H., Stellmacher B. The theory of finite groups: an introduction. NY etc.: Springer-Verlag, 2004. 387 p. doi: 10.1007/b97433 

4.   Liebeck M. W., Praeger C. E., Saxl J. On the O’Nan–Scott theorem for finite primitive permutation groups // J. Austral. Math. Soc. (A). 1988. Vol. 44, no. 3. P. 389–396. doi: 10.1017/S144678870003216X 

5.   Meierfrankenfeld U. Eine Lösung des Pushing-up Problems für eine Klasse endlicher Gruppen. Dissertation. Bielefeld, 1986.

6.   Meierfrankenfeld U., Stellmacher B. The general FF-module theorem // J. Algebra. 2012. Vol. 351. P. 1–63. doi: 10.1016/j.jalgebra.2011.10.029 

7.   Spiga P. On G-locally primitive graphs of locally twisted wreath type and a conjecture of Weiss // J. Combinatorial Theory. Ser. A. 2011. Vol. 118, no. 8. P. 2257–2260. doi: 10.1016/j.jcta.2011.05.005 

8.   Spiga P. An application of the local C(G,T) theorem to a conjecture of Weiss // Bull. London Math. Soc. 2016. Vol. 48, no. 1. P. 12–18. doi: 10.1112/blms/bdv071 

9.   Trofimov V. I. Vertex stabilizers of locally projective groups of automorphisms of graphs: a summary // Groups, Combinatorics and Geometry. Durham, 2001. NJ etc.: World Sci. Publ., 2003. P. 313–326. doi: 10.1142/9789812564481_0019 

10.   van Bon J. Thompson–Wielandt-like theorems revisited // Bull. Lond. Math. Soc. 2003. Vol. 35, no. 1. P. 30–36. doi: 10.1112/S0024609302001418 

11.   Weiss R. M. s-transitive graphs // Algebraic methods in graph theory (Szeged, 1978). Vol. II. (Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, 25). Amsterdam etc.: North-Holland, 1981. P. 827–847.

12.   Weiss R. M. An application of p-factorization methods to symmetric graphs // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1979. Vol. 85, no. 1. P. 43–48. doi: 10.1017/S030500410005547X 

Поступила 29.10.2021

После доработки 19.11.2021

Принята к публикации 13.12.2021

Трофимов Владимир Иванович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: trofimov@imm.uran.ru

Ссылка на статью: В.И. Трофимов. О гипотезе Вайса. I // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 247-256

English

V.I. Trofimov. On the Weiss conjecture. I

Let $\Gamma$ be a connected finite graph and $G$ a vertex-transitive group of automorphisms of $\Gamma$ such that the stabilizer $G_x$ in $G$ of a vertex $x$ of $\Gamma$ induces on the neighborhood $\Gamma(x)$ of $x$ a primitive permutation group $G_x^{\Gamma(x)}$. The Weiss conjecture says that, under this assumption, the order of $G_x$ is bounded from above by a number depending only on the degree $|\Gamma(x)|$ of $\Gamma$. In the work whose first part is the present paper we show that some results of the theory of finite groups can be used to provide unified considerations of a number of cases of the Weiss conjecture (including a number of cases not considered before). Although this first part is introductory, it makes possible to use certain previous results to confirm the Weiss conjecture for all primitive groups $G_x^{\Gamma(x)}$ different from groups of AS type and from groups of PA type (constructed on the basis of groups of AS type).

Keywords: graph, group of automorphisms, Weiss conjecture

Received October 29, 2021

Revised November 19, 2021

Accepted December 13, 2021

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. № 20-01-00456).

Trofimov Vladimir Ivanovich, Dr. Phys.-Math. Sci., Leading researcher, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Prof., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia,
e-mail: trofimov@imm.uran.ru

Cite this article as: V.I. Trofimov. On the Weiss Conjecture. I, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 247–256.

[References -> on the "English" button bottom right]