А.И. Созутов. О периодических вполне расщепляемых группах ... С. 239-246

УДК 512.54

MSC: 20E28, 20F50

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-239-246

Работа поддержана РФФИ (проект №19-01-00566 A) и Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ в рамках мероприятий по созданию и развитию региональных НОМЦ (соглашение 075-02-2020-1534/1).

Изучается бесконечная периодическая группа $G$ с инволюциями, совпадающая с  теоретико-множественным обьединением совокупности собственных локально циклических подгрупп, попарно пересекающихся по единичной подгруппе. Доказано, что если в $G$ есть элементарная подгрупа $E_8$, то $G$ либо локально конечна (и описано ее строение), либо ее подгруппа  $O_2(G)$ элементарна и сильно изолирована в $G$. Если в $G$ есть конечный элемент порядка, большего двух, и $2$-ранг $G$ не равен двум, то группа $G$ локально конечна и описано ее строение.

Ключевые слова: периодическая группа, вполне расщепляемая  группа, $2$-ранг группы, сильно изолированная подгруппа, конечные элементы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Конторович П.Г. Группы с базисом расщепления I // Мат. сб. 1943. Т. 12 (54), № 1. C. 56–70.

2.   Старостин А.И. Расщепления и централизаторы в теории конечных групп (Автoреферат дис. …д-р физ.-мат. наук, 1968) // Мат. заметки. Докторские диссертации. 1969. Т. 6, №4. C. 499–511.

3.   Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы. М.: Наука, 1968. 112 с.

4.   Miller G.A. Groups in which all the operators are contained in series of subgroups such that any two have only the identity in common // Bull. Amer. Math. Soc. 1906. Vol. 12, no. 9. P. 446–449. doi: 10.1090/S0002-9904-1906-01370-2 

5.   Young J.W. On the partitions of a group and the rezulting classification // Bull. Amer. Math. Soc. 1927. Vol. 33, no. 4. P. 453–461. doi: 10.1090/S0002-9904-1927-04405-6 

6.   Jordan C. Recherches sur les substitution // Liov. Journ. Ser. 2. 1872. Vol. 17. P. 351–367.

7.   Dickson L. Linear groups with an exposition of the Galois field theory. Leipzig: B.G.Teubner, 1901. 312 p.

8.   Frobenius G.  Über auflösbare Gruppen, IV // Berl. Ber. 1901. P. 1216–1230.

9.   Старостин А.И. О группах Фробениуса // Укр. мат. журн. 1971. Т. 23, № 5. P. 629–639.

10.   Конторович П.Г. О разложение групп в прямую сумму подгрупп // Мат. сб. I. 1939. Т. 5 (47), № 2. P. 289–296; II. 1940. Т. 7 (49), №1. P. 27–33.

11.   Конторович П.Г. Группы с базисом расщепления // Мат. сб. II. 1946. Т. 19 (61), №2. C. 287–305; III. 1948. Т. 22 (64), №1. С. 79–100; IV. 1950. Т. 26 (68 ), №2. С. 311–320.

12.   Конторович П.Г., Пекелис А.С., Старостин А.И. Структурные вопросы теории групп // Мат. зап. Урал. ун-та. 1961. Т. 3, №1. С. 3–50.

13.   Старостин А.И. Строение вполне расщепляемого ядра локально конечных групп // Уч. зап. Урал. ун-та. 1959. Т. 23, № 1. С. 29–34.

14.   Старостин А.И. Периодические локально разрешимые вполне расщепляемые группы // Изв. ВУЗов. Математика. 1960. Т. 2. С. 168–177.

15.   Бусаркин В.М., Старостин А.И. О расщепляемых локально конечных группах // Мат. сб. 1963. Т. 62 (104), № 3. С. 275–294.

16.   Старостин А.И. Ядро расщепления локально конечных групп // Мат. сб. 1965. Т. 66 (108), № 4. С. 551–567.

17.   Suzuki M. On the finite groups with a complete partition // J. Math. Soc. Japan. 1950. Vol. 2, no. 1-2. P. 165–185. doi: 10.2969/jmsj/00210165 

18.   Baer R. Einfache Partitionen nicht-einfacher Gruppen // Math. Z. 1961. Vol. 77, no. 1. P. 1–37. doi: 10.1007/BF01180159 

19.   Kegel O. Lokal endliche Gruppen mit nicht-trivialer Partition // Arch. Math. 1962. Vol. 13. P. 10–28. doi: 10.1007/BF01650044 

20.   Горчаков Ю.М. О бесконечных группах Фробениуса // Алгебра и логика. 1965. Т. 4, № 1. P. 15–29.

21.   Шунков В.П. О некотором обобщении теоремы Фробениуса на периодические группы // Алгебра и логика. 1967. Т. 6, № 3. C. 113–124.

22.   Созутов А.И., Шунков В.П. Об одном обобщении теоремы Фробениуса на бесконечные группы // Мат. сб. 1976. Т. 100, №4. С. 495–506.

23.   Созутов А.И. О строении неинвариантного множителя в некоторых группах Фробениуса // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, №4. С. 893–901.

24.   Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М.: Наука, 1975. 336 с.

25.   Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М.: Наука, 1989. 448 с.

26.   Адян С.И. Периодические произведения групп // Тр. МИАН. 1976. Т. 142. С. 3–21.

27.   Ольшанский А.Ю. Группы ограниченного периода с подгруппами простых порядков // Алгебра и логика. 1982. Т. 21, № 5. С. 553–618.

28.   Мазуров В.Д., Хухро Е.И. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. 15-е изд. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2002. 172 с.

29.   Созутов А.И. О группах с квазициклическим централизатором инволюции // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 5. C. 1127–1130.

30.   Созутов А.И. О группах с конечным энгелевым элементом // Алгебра и логика. 2019. Т. 58, №3. C. 376–396. doi: 10.33048/alglog.2019.58.307 

31.   Созутов А.И., Сучков Н.М., Сучкова Н.Г. Бесконечные группы с инволюциями. Красноярск: Изд-во Сибир. федер. ун-та, 2011. 149 с.

32.   Попов А.М., Созутов А.И., Шунков В.П. Группы с системами фробениусовых подгрупп. Красноярск: Изд-во Краснояр. госуд. техн. ун-та, 2004. 210 c.

Поступила 10.10.2021

После доработки 16.12.2021

Принята к публикации 20.12.2021

Созутов Анатолий Ильич
д-р физ.-мат. наук, профессор
Институт математики и фундаментальной информатики
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: sozutov_ai@mail.ru

Ссылка на статью: А.И. Созутов. О периодических  вполне расщепляемых группах // Тр. Ин-та математики и механики Уро РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 239-246

English

A.I. Sozutov. On periodic completely splittable groups

We study an infinite periodic group $G$ with involutions that coincides with the set-theoretic union of a collection of proper locally cyclic subgroups with trivial pairwise intersections. It is proved that if $G$ contains an elementary subgroup $E_8$, then either $G$ is locally finite (and its structure is described) or its subgroup $O_2(G)$ is elementary and strongly isolated in $G$. If $G$ has a finite element of order greater than 2 and the $2$-rank of $G$ is not $2$, then $G$ is locally finite, and its structure is described.

Keywords: periodic group, completely splittable group, $2$-rank of a group, strongly isolated subgroup, finite element

Received October 10, 2021

Revised December 16, 2021

Accepted December 20, 2021

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 19-01-00566 A) and by the Krasnoyarsk Mathematical Center, which is financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within the project for the creation and development of regional centers for mathematical research and education (agreement no. 075-02-2020-1534/1).

Anatoly Ilyich Sozutov, School of Mathematics and Computer Science, Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: sozutov_ai@mail.ru

Cite this article as: A.I. Sozutov. On periodic completely splittable groups, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 239–246.

[References -> on the "English" button bottom right]