В.Н. Рыжик, И.Н. Сафонова, А.Н. Скиба. О $\mathfrak{F}$-норме конечной группы ... С. 232-238

УДК 512.542

MSC: 20D10, 20D15

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-232-238

Работа второго автора поддержана Министерством образования Республики Беларусь (проект 20211328), работа третьего автора поддержана Белорусским Республиканским Фондом Фундаментальных Исследований (грант Ф20Р-291).

Пусть $ G $ - конечная группа и $ \mathfrak{F} $ - непустая формация. Тогда пересечение нормализаторов $ \mathfrak{F} $-корадикалов всех подгрупп группы $ G $ называется $\mathfrak{F}$-нормой группы $ G $ и обозначается символом $ N _ {\mathfrak{F}}(G) $. Группа $ G $ называется $\mathfrak{F}$-критической, если $ G \not \in \mathfrak{F} $, но $ U \in \mathfrak{F} $ для всех собственных подгрупп $ U $ группы $ G.$ Мы говорим, что конечная группа $ G $    является обобщенной $\mathfrak{F}$-критической, если в $ G $ имеется нормальная подгруппа $ N $ такая, что $ N \leq \Phi (G) $ и фактор-группа $ G / N $ является $ \mathfrak{F} $-критической. В  данной публикации мы доказываем следующий результат: Если $ G $ не принадлежит непустой наследственной формации  $\mathfrak{F} $, то $ \mathfrak{F} $-норма $ N _ {\mathfrak{F}}(G) $ группы $G$ совпадает с пересечением нормализаторов $ \mathfrak{F} $-корадикалов всех обобщенных $ \mathfrak{F} $-критических подгрупп группы $ G $. В  частности, норма $ N (G) $ группы $ G $ совпадает с пересечением нормализаторов всех циклических подгрупп группы $ G $, имеющих своим порядком степень простого числа.

Ключевые слова: конечная группа, наследственная формация, $\mathfrak{F}$-корадикал группы, $\mathfrak{F}$-норма группы, обобщенная $\mathfrak{F}$-критическая группа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. 272 c.

2.   Ballester-Bolinches A., Ezquerro L.M. Classes of finite groups. Dordrecht: Springer, 2006. 381 p. doi: 10.1007/1-4020-4719-3 

3.   Doerk K., Hawkes T. Finite Soluble groups. Berlin; NY: Walter de Gruyter, 1992. 889 p. doi: 10.1515/9783110870138 

4.   Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 c.

5.   Baer R. Der Kern, eine charkteristishe Untergruppe // Compos. Math. 1935. Vol. 1. P. 254–283. URL: http://eudml.org/doc/88574 

6.   Baer R. Norm and hypernorm // Publ. Math. Debrecen. 1956. Vol. 4. P. 347–350. URL: https://zbmath.org/0071.25302 

7.   Li S., Shen Z. On the intersection of the normalizers of derived subgroups of all subgroups of a finite group // J. Algebra. 2010. Vol. 323, iss. 5. P. 1349–1357. doi: 10.1016/j.jalgebra.2009.12.015 

8.   Shen Z., Shi W., Qian G. On the norm of the nilpotent residuals of all subgroups of a finite group // J. Algebra. 2012. Vol. 352, iss. 1. P. 290–298. doi: 10.1016/j.jalgebra.2011.11.018 

9.   Su N., Wang Y. On the normalizers of $\mathfrak{F}$-residuals of all subgroups of a finite group // J. Algebra. 2013. Vol. 392. P. 185–198. doi: 10.1016/j.jalgebra.2013.06.037 

10.   Hu B., Huang J., Skiba A.N. On the $\sigma$-nilpotent norm and the $\sigma$-nilpotent length of a finite group // Glasgow Math. J. 2020. Vol. 63, iss. 1. P. 121–132. doi: 10.1017/S0017089520000051 

11.   Lin Y., Gong Y., Shen Z. On the generalized norms of a group // Communications in Algebra. 2021. Vol. 49, iss. 9. P. 4092–4097. doi: 10.1080/00927872.2021.1913501 

12.   Alejande M.J., Ballester-Bolinches A. On a theorem of Berkovich // Israel. Math. J. 2002. Vol. 131. P. 149–156. doi: 10.1007/BF02785855 

13.   Berkovich Y. Some corollaries to Frobenius’ normal $p$-complement theorem // Proc. Amer. Math. Soc. 1999. Vol. 127, no. 9. P. 2505–2509. doi: 10.1090/S0002-9939-99-05275-2 

14.   Huppert B. Endliche Gruppen I, Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1967. 796 p. doi: 10.1007/978-3-642-64981-3 

15.   Gorenstein D., Finite groups. NY; Evanston; London: Harper & Row Publishers, 1968. 527 c.

16.   Skiba A.N. On $\sigma$-subnormal and $\sigma$-permutable subgroups of finite groups // J. Algebra 2015. Vol. 436. P. 1–16. doi: 10.1016/j.jalgebra.2015.04.010 

17.   Белоногов В.А. Конечные группы, все 2-максимальные подгруппы которых $\pi$-разложимы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 2. С. 29–43.

Поступила 10.11.2021

После доработки 15.12.2021

Принята к публикации 27.12.2021

Рыжик Валентина Николаевна
канд. физ.-мат. наук, доцент
кафедра высшей математики
Брянский государственный аграрный университет
г. Кокино
e-mail: v2929222@yandex.ru

Сафонова Инна Николаевна
канд. физ.-мат. наук, доцент
факультет прикладной математики и информатики
Белорусский государственный университет
г. Минск, Беларусь
e-mail: safonova@bsu.by

Скиба Александр Николаевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
факультет математики и технологий программирования
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины
г. Гомель, Беларусь
e-mail:alexander.skiba49@gmail.com

Ссылка на статью: В.Н. Рыжик, И.Н. Сафонова, А.Н. Скиба. О $\mathfrak{F}$-норме конечной группы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 232-238

English

V.N. Ryzhik, I.N. Safonova, A.N. Skiba. On the $\mathfrak{F}$-norm of a finite group

Let $G$ be a finite group, and let $\mathfrak{F}$ be a nonempty formation. Then the intersection of the normalizers of the $\mathfrak{F}$-residuals of all subgroups of $G$ is called the $\mathfrak{F}$-norm of $G$ and is denoted by $N_{\mathfrak{F}}(G)$. A group $G$ is called $\mathfrak{F} $-critical if $G \not \in \mathfrak{F}$, but $U \in \mathfrak{F}$ for any proper subgroup $U$ of $G$. We say that a finite group $G$ is generalized $\mathfrak{F}$-critical if $G$ contains a normal subgroup $N$ such that $N \leq \Phi (G)$ and the quotient group $G/N$ is $\mathfrak{F}$-critical. In this publication we prove the following result: If $G$ does not belong to the nonempty hereditary formation $\mathfrak{F},$ then the $\mathfrak{F}$-norm $N_{\mathfrak{F}}(G)$ of $G$ coincides with the intersection of the normalizers of the $\mathfrak{F}$-residuals of all generalized $\mathfrak{F}$-critical subgroups of $G$. In particular$,$ the norm $N (G)$ of $G$ coincides with the intersection of the normalizers of all cyclic subgroups of $G$ of prime power order.

Keywords: finite group, hereditary formation, $\mathfrak{F}$-residual of a group, $\mathfrak{F}$-norm of a group, generalized $\mathfrak{F}$-critical group

Received November 10, 2021

Revised December 15, 2021

Accepted December 27, 2021

Funding Agency: The second author was supported by the Ministry of Education of the Republic of Belarus (project no. 20211328), and the third author was supported by the Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research (grant no. F20R-291).

Valentina Nikolaevna Rizhik, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Department of Automation, Physics and Mathematics, Bryansk State Agrarian University, Bryansk, 243365, Russia, e-mail: v2929222@yandex.ru

Inna Nikolaevna Safonova, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Faculty of Applied Mathematics and Computer Science, Belarusian State University, Minsk, 220030, Belarus, e-mail: safonova@bsu.by

Alexander Nikolaevich Skiba, Department of Mathematics and Programming Technologies, Francisk Skorina Gomel State University, Gomel, 246019, Belarus, e-mail: alexander.skiba49@gmail.com

Cite this article as: V.N. Ryzhik, I.N. Safonova, A.N. Skiba. On the $\mathfrak{F}$-norm of a finite group, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 232–238.

[References -> on the "English" button bottom right]