А.В. Рожков. АТ-группы, не являющиеся АТ-подгруппами: переход от $AT_{\omega}$-групп к $AT_{\Omega}$-группам ... С. 218-231

УДК 512.544

MSC: 20B07, 20F50

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-218-231

Проект реализуется победителем Конкурса на предоставление грантов благотворительной программы “Стипендиальная программа Владимира Потанина” Благотворительного фонда Владимира Потанина.

Изучаются  периодические не локально конечные (бернсайдовы) группы неограниченного периода. Первый явно заданный пример такой группы предложил С.В. Алешин в 1972 г. Обобщением его конструкции стали АТ-группы - группы автоморфизмов деревьев. С помощью АТ-групп решен ряд известных проблем. До настоящего времени реально изучался только класс $AT_{\omega}$-групп - АТ-групп над последовательностью циклических групп простого порядка. В данной работе исследуется класс $AT_{\Omega}$-групп - АТ-групп над последовательностью циклических групп произвольного конечного порядка. Различие между $AT_{\omega}$-группами и истинными $AT_{\Omega}$-группами выявило решение коуровского вопроса 16.79. Изучение класса $AT_{\Omega}$-групп позволило ввести ряд новых понятий. Теперь $AT_{\omega}$-группы можно рассматривать как элементарные АТ-группы, которыми насыщены АТ-группы над последовательностью периодических групп. В статье предложена стратегия изучения  таких АТ-групп и  указаны перспективные направления подобных исследований.

Ключевые слова: бернсайдовы группы, финитно аппроксимируемые группы, условия конечности, АТ-группы, деревья, сплетения

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых группах // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1964. Т. 28, № 2. С. 273–276.

2.   Алешин С.В. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах // Мат. заметки. 1972. Т. 11, № 3. С. 319–328.

3.   Сущанский В.И. Периодические p-группы подстановок и неограниченная проблема Бернсайда // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247, № 3. С. 561–565.

4.   Григорчук Р.И. К проблеме Бернсайда о периодических группах // Функц. анализ и его приложения. 1980. Т. 14, № 1. С. 53–54.

5.   Gupta N., Sidki S. Some infinite p-groups // Алгебра и логика. 1983. Т. 22, № 5. С. 584–589.

6.   Мерзляков Ю.И. О бесконечных конечно-порожденных периодических группах // Докл. АН СССР. 1983. Т. 268, № 4. С. 803–805.

7.   Рожков А.В. К теории групп алешинского типа // Мат. заметки. 1986. Т. 40, № 5. С. 572–589.

8.   Григорчук Р.И. Степени роста конечно-порожденных групп и инвариантное среднее // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1984. Т. 48, № 5. С. 572–589.

9.   Рожков А.В. Условия конечности в группах автоморфизмов деревьев: дис. …док. физ.-мат. наук / Красноярск. гос. ун-т. Красноярск, 1997. 230 с.

10.   Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. Изд. 18-е, допол. / ред. В.Д. Мазуров, Е.И. Хухро. Новосибирск: Институт математики, 2014. 254 с.

11.   Григорчук Р.И. Ветвящиеся группы // Мат. заметки. 2000. Т. 67, № 6. C. 852–858.

Поступила 9.11.2021

После доработки 18.01.2022

Принята к публикации 24.01.2022

Рожков Александр Викторович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор Кубанского государственного университета
г. Краснодар
e-mail: ros@math.kubsu.ru

Ссылка на статью: А.В. Рожков. АТ-группы, не являющиеся АТ-подгруппами: переход от $AT_{\omega}$-групп к $AT_{\Omega}$-группам // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 218-231

English

A.V. Rozhkov. AT-groups that are not AT-subgroups: Transition from  $AT_{\omega}$-groups to $AT_{\Omega}$-groups

Periodic nonlocally finite (Burnside) groups of infinite period are studied. The first explicit example of such groups was proposed by S.V. Aleshin in 1972. His construction was generalized to AT-groups, i.e., tree automorphism groups. A number of known problems have been solved with the help of AT-groups. Up to now, in reality, only the class of $AT_{\omega}$-groups, i.e., the class of AT-groups over a sequence of cyclic groups of prime order, has been studied. In this paper, the class of $AT_{\Omega}$-groups, i.e., of AT-groups over a sequence of cyclic groups of arbitrary finite order, is studied. The difference between $AT_{\omega}$-groups and true $AT_{\Omega}$-groups was revealed by the solution of the Kourovka Problem 16.79. The study of the class of $AT_{\Omega}$-groups  has allowed us to introduce a number of new notions. Now the $AT_{\omega}$-groups can be considered as elementary AT-groups by which the AT-groups over a sequence of periodic groups are saturated. We propose a strategy for studying such AT-groups and give promising directions of this kind of research.

Keywords: Burnside groups, residually finite group, finiteness conditions, AT-groups, trees, wreath product

Received November 11, 2021

Revised January 18, 2021

Accepted January 24, 2021

Funding Agency: This work was supported by the Scholarship Program of the Vladimir Potanin Foundation.

Alexander Vicktorovich Rozhkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Kuban State University, Krasnodar, 350040 Russia, e-mail: ros@math.kubsu.ru

Cite this article as: A.V. Rozhkov. AT-groups that are not AT-subgroups: Transition from $AT_{\omega}$-groups to $AT_{\Omega}$-groups, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 218–231.

[References -> on the "English" button bottom right]