УДК 517.925
MSC: 34C23, 34D20
DOI 10.21538/0134-4889-2022-28-1-111-126
Полный текст статьи (Full text)
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 20-11-19995).
Рассматривается система двух нелинейных дифференциальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами. Система соответствует одной из моделей ядерных спинов в антиферромагнетике. При записи в медленном времени уравнения содержат малый параметр при производных. В главных членах асимптотики по малому параметру задача сводится к системе алгебраических уравнений. Их корни зависят от медленного времени. Исследуются решения, асимптотика которых перестраивается с одного корня на другой. Такая перестройка случается при подходящем изменении коэффициентов исходных уравнений и идентифицируется с динамической бифуркацией седло-узел. Вблизи момента перехода (бифуркации) возникает узкий переходной слой, где решение быстро меняется. Основные результаты связаны с построением асимптотики по малому параметру в этом слое. Для построения асимптотики применяется метод согласования с использованием трех масштабов.
Ключевые слова: равновесие, динамическая бифуркация, малый параметр, асимптотика
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Борич М.А., Буньков Ю.М., Куркин М.И., Танкеев А.П. Ядерная магнитная релаксация, наведенная релаксацией электронных спинов // Письма в ЖЭТФ. 2017. Т. 105, вып. 1. C. 23–27. doi: 10.7868/S0370274X17010052
2. Kalyakin L.A. Analysis of a mathematical model for nuclear spins in an antiferromagnet // Russian J. Nonlinear Dynamics. 2018. Vol. 14, no. 2. P. 217–234. doi: 10.20537/nd180206
3. Калякин Л.А. Асимптотика решения системы уравнений Ландау — Лифшица при динамической бифуркации седло-узел // Алгебра и анализ. 2021. Т. 33, № 2. С. 56–81.
4. Калякин Л. А. Асимптотика решения дифференциального уравнения при динамической бифуркации типа седло-узел // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2019. Т. 59, № 9. С. 59–74. doi: 10.1134/S0044466919090102
5. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. 207 с.
6. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.
7. Berglund N. Dynamic bifurcations: hysteresis, scaling laws and feedback control [e-resource]. 1999. 12 p. URL: https://arxiv.org/pdf/chao-dyn/9912008.pdf
8. Kiselev O.M. Hard Loss of Stability in Painleve-2 Equation // J. Nonlinear Math. Phys. 2001. Vol. 8, no. 1. P. 65–95. doi: 10.2991/jnmp.2001.8.1.8
9. Diminnie D.C., Haberman R. Slow passage through homoclinic orbits for the unfolding of a saddle-center bifurcation and the change in the adiabatic invariant // Physica D. 2002. Vol. 162, no. 1-2. P. 34–52. doi: 10.1016/s0167-2789(01)00373-6
10. Сулейманов Б. И. Некоторые типичные особенности движения с торможением в случае плавной неоднородности // Доклады АН. 2006. Т. 407, №4. С. 460–462.
11. Бутузов В.Ф. О контрастных структурах с многозонным внутренним слоем // Моделирование и анализ информ. систем. 2017. Т. 24, №3. С. 288–308. doi: 10.18255/1818-1015-2017-3-288-308
12. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Наука, 1995. 336 с.
13. Lebovitz N.R. and Schaar R.J. Exchange of stabilities in autonomous systems // Stud. Appl. Math. 1975. Vol. 54, no. 3. P 229–260. doi: 10.1002/sapm1975543229
14. Lebovitz N.R. and Schaar R.J. Exchange of stabilities in autonomous systems-II. Vertical bifurcation // Stud. Appl. Math. 1977. Vol. 56. P. 1–50. doi: 10.1002/sapm19775611
15. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 488 с.
16. Орлов В. Н. Критерий существования подвижных особых точек решений дифференциального уравнения Риккати // Вестн. СамГУ. Естественнонаучная серия. 2006. №6/1(46). С. 64–69.
17. Нейштадт А. И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, №2. С. 226–233.
18. Baer S. M., Erneux T., and. Rinzel J The slow passage through a Hopf bifurcation: Delay, memory effects, and resonance // SIAM J. Appl. Math. 1989. Vol. 49, no. 1. P. 55–71. doi: 10.1137/0149003
Поступила 10.11.2021
После доработки 24.11.2021
Принята к публикации 29.11.2021
Калякин Леонид Анатольевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
главный науч. сотрудник
Институт математики с ВЦ УфИЦ РАН
г. Уфа
e-mail: klenru@mail.ru
Ссылка на статью: Л.А. Калякин. Асимптотика динамической бифуркации седло-узел для модели ядерных спинов в антиферромагнетике // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 111-126
English
L.A. Kalyakin. Asymptotics of a dynamic saddle-node bifurcation for the nuclear spin model in an antiferromagnet
A system of two nonlinear differential equations with slowly varying coefficients is considered. The system corresponds to one of the models of nuclear spins in antiferromagnets. When written in slow time, the equations contain a small parameter at the derivatives. In the leading terms of the asymptotics with respect to the small parameter, the problem is reduced to a system of algebraic equations. Their roots depend on the slow time. We study solutions whose asymptotics is restructured from one root to another. Such restructuring occurs under a suitable change in the coefficients of the original equations and is identified with a dynamic saddle-node bifurcation. A narrow transition layer appears near the moment of transition (bifurcation), where the solution changes rapidly. The main results are related to the construction of the asymptotics with respect to the small parameter in this layer. To construct the asymptotics, the matching method using three scales is used.
Keywords: equilibrium, dynamic bifurcation, small parameter, asymptotics
Received November 10, 2021
Revised November 24, 2021
Accepted November 29, 2021
Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 20-11-19995).
Leonid Anatol’evich Kalyakin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Institute of Mathematics of Ufa Federal Research Center of Russian Academy of Sciences, Ufa, 450008 Russia, e-mail: klenru@mail.ru
Cite this article as: L.A. Kalyakin. Asymptotics of a dynamic saddle-node bifurcation for the nuclear spin model in an antiferromagnet, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 111–126.
[References -> on the "English" button bottom right]
