С.В. Захаров. Согласование асимптотических решений параболического уравнения в задаче Коши с многомасштабной эволюцией сингулярности ... С. 96-110

УДК 517.955, 517.956.4, 517.956.8

MSC: 34E05, 34E10, 34K26, 35K15, 35K59

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-96-110

Рассматривается бисингулярная задача Коши для квазилинейного параболического уравнения с малым параметром при старшей производной. Начальная функция зависит от пространственной переменной с другим малым параметром, и выполняются условия, при которых постановка задачи становится моделью эволюции нелинейных волн сжатия с большим начальным градиентом в физических системах при наличии малой диссипации. В предельном случае нулевой диссипации, когда рассматриваемое уравнение становится уравнением первого порядка, имеется ударная волна, начало которой представляет собой особую точку решения. Вблизи этой особой точки — на масштабах малой величины диссипации — строится асимптотическое решение задачи по малым параметрам. С помощью метода согласования на основе полученного ранее асимптотического решения в меньшей области установлено, что новое асимптотическое решение должно иметь вид ряда по целым степеням отношения малых параметров и его логарифма, и для коэффициентов этого ряда получена рекуррентная система параболических уравнений вместе с соответствующими асимптотическими условиями согласования. После сведения этой рекуррентной системы задач к интегральным соотношениям применением метода последовательных приближений и оценок интегральных сверток доказано существование нужных решений. Кроме того, установлено, что построенный ряд применим в переходной области многомасштабной эволюции сингулярности между ее начальной стадией и пограничным слоем вблизи ударной волны, а в частном случае уравнения Бюргерса даны некоторые явные формулы.

Ключевые слова: квазилинейное параболическое уравнение, большой начальный градиент, бисингулярная задача Коши, особая точка, многомасштабная эволюция, автомодельность, асимптотики Пуанкаре и Эрдейи, метод согласования, диссипативная волна сжатия, ударная волна

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Poincaré H. Sur les intégrales irrégulières des équations linéaires // Acta Math. 1886. Vol. 8, no. 1. P. 295–344. doi: 10.1007/BF02417092 

2.   Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.: Физматлит, 1962. 127 с.

3.   Захаров С.В. Особые точки и асимптотики в сингулярной задаче Коши для параболического уравнения с малым параметром // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2020. Т. 60, № 5. С. 841–852. doi: 10.31857/S0044466920050166 

4.   Захаров С.В. Двухпараметрические асимптотики в бисингулярной задаче Коши для параболического уравнения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23, № 2. C. 94–103.

5.   Захаров С.В. Задача Коши для квазилинейного параболического уравнения с большим начальным градиентом и малой вязкостью // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2010. Т. 50, № 4. С. 699–706.

6.   Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.

7.   Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.

8.   Олейник О.А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, вып. 3. С. 3–73.

9.   Ильин А.М. Об асимптотике решений одной задачи с малым параметром // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1989. Т. 53, вып. 2. C. 258–275.

10.   Stewartson K. On almost rigid rotations. Part 2 // J. Fluid Mech. 1966. Vol. 26. P. 131–144. doi: 10.1017/S0022112066001137 

11.   Busse F.H. On Howard’s upper bound for heat transport by turbulent convection // J. Fluid Mech. 1969. Vol. 37. P. 457–477. doi: 10.1017/S0022112069000668 

Поступила 18.01.2021

После доработки 14.10.2021

Принята к публикации 18.10.2021

Захаров Сергей Викторович
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: svz@imm.uran.ru

Ссылка на статью: С.В. Захаров. Согласование асимптотических решений параболического уравнения в задаче Коши с многомасштабной эволюцией сингулярности // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 96-110

English

S.V. Zakharov. Matching of asymptotic solutions of a parabolic equation in the Cauchy problem with the multiscale evolution of a singularity

A bisingular Cauchy problem for a quasilinear parabolic equation with a small parameter at the higher derivative is considered. The initial function depends on the space variable with another small parameter, and conditions are fulfilled under which the statement of the problem becomes a model of the evolution of nonlinear compression waves with a large initial gradient in physical systems in the presence of a small dissipation. In the limit case of the zero dissipation, when the equation under consideration becomes a first-order equation, there is a shock wave, whose origin is a singular point of the solution. Near the singular point, on the scales of the small value of dissipation, an asymptotic solution of the problem in the small parameters is constructed. With the help of the matching method on the basis of an earlier obtained asymptotic solution in a smaller region, it is established that the new asymptotic solution must have the form of a series in integer powers of the ratio of small parameters and its logarithm, and for the coefficients of this series a recurrence system of parabolic equations together with the corresponding asymptotic conditions of matching is obtained. After reducing this recurrence system of problems to integral relations, by applying the method of successive approximations and estimates of integral convolutions, the existence of necessary solutions is proved. In addition, it is shown that the constructed series is suitable in a transitional region of the multiscale evolution of the singularity between its initial stage and the boundary layer near the shock wave, and also in the particular case of the Burgers equation some explicit formulas are given.

Keywords: quasilinear parabolic equation, large initial gradient, bisingular Cauchy problem, singular point, multiscale evolution, self-similarity, Poincaré and Erdélyi asymptotics, matching method, dissipative compression wave, shock wave

Received January 18, 2021

Revised October 14, 2021

Accepted October 18, 2021

Sergei Viktorovich Zakharov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: svz@imm.uran.ru

Cite this article as: S.V. Zakharov. Matching of asymptotic solutions of a parabolic equation in the Cauchy problem with the multiscale evolution of a singularity, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 96–110.

[References -> on the "English" button bottom right]