М.А. Комаров. О тождестве Борвейна и весовых неравенствах типа Турана на отрезке ... С. 127-138

УДК 517.518.862

MSC: 41A17

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-127-138

Пусть $\Pi_n^*$ - класс алгебраических полиномов $P$ степени $n$, имеющих все корни на отрезке $[-1,1]$ и обращающихся в нуль в точках $1$ и $-1$. Пусть, кроме того, $w(x)=1-x^2$. Основной результат статьи можно сформулировать следующим образом: существует абсолютная константа $A>0$ такая, что \[\|P'w^{1-s}\|_{C[-1,1]}>A\sqrt{n}\cdot \sqrt{1-\Delta_P^2}\,\|Pw^{-s}\|_{C[-1,1]}\] для любых $P\in \Pi_n^*$ и $s\in [0,1]$, где $\Delta_P=\inf\big\{d\ge 0\colon \|Pw^{-s}\|_{C[-d,d]}=\|Pw^{-s}\|_{C[-1,1]}\big\}$. Это неравенство можно интерпретировать как весовой аналог классического неравенства П. Турана для производной полиномов с корнями на отрезке. Доказательство использует обобщение интересной формулы П. Борвейна для логарифмической производной таких полиномов. Оценка, полученная в работе, точна по порядку количества $n$ и дополняет известные результаты В.Ф. Бабенко, С.А. Пичугова, С.П. Чжоу и других авторов.

Ключевые слова: логарифмическая производная полинома, весовое неравенство Турана

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Borwein P. The size of $\{x: r_n'/r_n\ge 1\}$ and lower bounds for $\|e^{-x}-r_n\|$ // J. Approx. Theory. 1982. Vol. 36, no. 1. P. 73–80. doi: 10.1016/0021-9045(82)90072-7 

2.   Macintyre A.J., Fuchs W.H.J. Inequalities for the logarithmic derivatives of a polynomial // J. London Math. Soc. 1940. Vol. 15, no. 2. P. 162–168. doi: 10.1112/jlms/s1-15.3.162 

3.   Komarov M.A. Distribution of the logarithmic derivative of a rational function on the line // Acta Math. Hungar. 2021. Vol. 163, no. 2. P. 623–639. doi: 10.1007/s10474-020-01102-w 

4.   Говоров Н.В., Лапенко Ю.П. Оценки снизу модуля логарифмической производной многочлена // Мат. заметки. 1978. Т. 23, вып. 4. С. 527–535.

5.   Komarov M.A. Reverse Markov inequality on the unit interval for polynomials whose zeros lie in the upper unit half-disk // Analysis Math. 2019. Vol. 45, no. 4. P. 817–821. doi: 10.1007/s10476-019-0009-y 

6.   Komarov M.A. The Turán-type inequality in the space $L_0$ on the unit interval // Analysis Math. 2021. Vol. 47, no. 4. P. 843–852. doi: 10.1007/s10476-021-0097-3 

7.   Turán P. Über die Ableitung von Polynomen // Compos. Math. 1939. Vol. 7. P. 89–95. URL: https://eudml.org/doc/88754 

8.   Varma A.K. An analogue of some inequalities of P. Turán concerning algebraic polynomials having all zeros inside [-1,+1] // Proc. Amer. Math. Soc. 1976. Vol. 55, no. 2. P. 305–309. doi: 10.1090/S0002-9939-1976-0396878-7 

9.   Zhou S.P. An extension of the Turán inequality in $L_p$-space for 0 < p < 1 // J. Math. Res. Expos. 1986. Vol. 6, no. 2. P. 27–30. doi: 10.3770/j.issn:1000-341X.1986.02.010 

10.   Глазырина П.Ю. Неравенство братьев Марковых в пространстве $L_0$  на отрезке // Мат. заметки. 2005. Т. 78, вып. 1. С. 59–65. doi: 10.4213/mzm2562 

11.   Erdélyi T. Turán-type reverse Markov inequalities for polynomials with restricted zeros // Constr. Approx. 2021. Vol. 54, no. 1. P. 35–48. doi: 10.1007/s00365-020-09509-y 

12.   Бабенко В.Ф., Пичугов С.А. Точное неравенство для производной тригонометрического полинома, имеющего только вещественные нули // Мат. заметки. 1986. Т. 39, вып. 3. С. 330–336.

13.   Xiao W., Zhou S.P. On weighted Turán type inequality // Glas. Math. Ser. III. 1999. Vol. 34(54), no. 2. P. 197–202. URL: https://web.math.pmf.unizg.hr/glasnik/vol_34/no2_07.html 

14.   Yu D., Wei B. On Turán type inequality with doubling weights and $A^*$  weights // J. Zhejiang Univ. Sci. A. 2005. Vol. 6, no. 7. P. 764–768. doi: 10.1631/jzus.2005.A0764 

15.   Underhill B., Varma A.K. An extension of some inequalities of P. Erdős and P. Turán concerning algebraic polynomials // Acta Math. Hungar. 1996. Vol. 73, no. 1–2. P. 1–28. doi: 10.1007/BF00058939 

16.   Wang J.L., Zhou S.P. The weighted Turán type inequality for generalized Jacobi weights // Bull. Aust. Math. Soc. 2002. Vol. 66, no. 2. P. 259–265. doi: 10.1017/S0004972700040107 

17.   Глазырина П.Ю., Ревес С.Д. Неравенства Турана — Эрёда, обратные к неравенству Маркова, для $L^q$-нормы по границе плоской выпуклой области // Тр. МИАН. 2018. Т. 303. С. 87–115. doi: 10.1134/S0371968518040088 

18.   Baran M. Markov inequality on sets with polynomial parametrization // Ann. Polon. Math. 1994. Vol. 60, no. 1. P. 69–79. doi: 10.4064/ap-60-1-69-79 .

Поступила 2.09.2021

После доработки 8.11.2021

Принята к публикации 15.11.2021

Комаров Михаил Анатольевич
канд. физ.-мат. наук
Владимирский государственный университет
г. Владимир
e-mail: kami9@yandex.ru

Ссылка на статью: М.А. Комаров.  О тождестве Борвейна и весовых неравенствах типа Турана на отрезке // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 127-138

English

M.A. Komarov. On Borwein’s identity and weighted Turán type inequalities on a closed interval

Let $\Pi_n^*$ be the class of algebraic polynomials $P$ of degree $n$ having all zeros on the interval $[-1,1]$ and vanishing at the points $1$ and $-1$. In addition, let $w(x)=1-x^2$. The main result of the paper can be formulated as follows: there is an absolute constant $A>0$ such that
\[ \|P'w^{1-s}\|_{C[-1,1]}>A\sqrt{n}\cdot \sqrt{1-\Delta_P^2}\,\|Pw^{-s}\|_{C[-1,1]} \]
for any $P\in \Pi_n^*$ and $s\in [0,1]$, where $\Delta_P=\inf\big\{d\ge 0\colon \|Pw^{-s}\|_{C[-d,d]}=\|Pw^{-s}\|_{C[-1,1]}\big\}$. This inequality may be interpreted as a weighted analog of P. Turán's classical inequality for the derivative of polynomials with zeros on a closed interval. The proof uses a generalization of an interesting formula of P. Borwein concerning the logarithmic derivative of such polynomials. Our estimate is sharp in the order of the quantity $n$ and complements well-known results of  V.F. Babenko, S.A. Pichugov, S.P. Zhou, and others.

Keywords: logarithmic derivative of a polynomial, weighted Turán inequality

Received September 2, 2021

Revised November 8, 2021

Accepted November 15, 2021

Mikhail Anatol’evich Komarov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Vladimir State University, Vladimir, 600000 Russia, e-mail: kami9@yandex.ru

Cite this article as: M.A. Komarov. On Borwein’s identity and weighted Turán type inequalities on a closed interval, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 127–138.

[References -> on the "English" button bottom right]