А.Г. Бабенко, Ю.В. Крякин. О нормах разностных операторов Бомана – Шапиро ... С. 64-75

УДК 517.518.82

MSC: 41A10, 41A17, 41A44

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-64-75

Исследования поддержаны РФФИ (проект № 18-01-00336) и Программой повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013).

При заданных $k\in\mathbb N,$ $h>0$ на пространстве $C=C(\mathbb R)$ непрерывных ограниченных на вещественной оси $\mathbb R=(-\infty,\infty)$ функций рассматривается точное неравенство $\|W_{2k}(f,h)\|_{C}\le C_{k}\;\|f\|_{C}$ для разностного оператора Бомана - Шапиро вида $$W_{2k}(f,h)(x):=\displaystyle\frac{(-1)^k}{h}\displaystyle\int\limits_{-h}^h\!{\binom {2k} k}^{\!-1}\widehat \Delta_t^{2k}f(x)\Big(1-\frac{|t|}h\Big)\, dt,$$ где $\widehat\Delta_t^{2k} f(x):=\sum_{j=0}^{2k} (-1)^{j} \binom{2k}{j} f(x+jt-kt)$ - центральная конечная разность функции $f$ порядка $2k$ с шагом $t$. При каждом фиксированном $k\in\mathbb N$ точная константа $C_{k}$ в указанном неравенстве является нормой оператора $W_{2k}(\cdot,h)$ из $C$ в $C.$ Доказано, что $C_{k}$ не зависит от $h$, возрастает по $k$ и предъявлен простой способ вычисления константы $C_{*}=\lim\limits_{k\to\infty}C_{k}=2.6699263\dots$ с точностью $10^{-7}$. В работе также рассмотрена задача продолжения непрерывной функции $f$ с отрезка  $[-1,1]$ на ось $\mathbb{R}$. Для этого продолжения  $g_f:=g_{f,k,h},$ $k\in\mathbb N,$ $0<h<1/(2k),$ функций $f\in C[-1,1]$ получены новые двусторонние оценки  для точной константы $C^{*}_{k}$ в неравенстве $\|W_{2k}(g_f,h)\|_{C(\mathbb R)}\le C^{*}_{k}\,\omega_{2k}(f,h),$ где $\omega_{2k}(f,h)$ - модуль непрерывности функции $f$ порядка $2k.$ А именно, при любом натуральном $k\ge 6$ и любом $h\in\big(0,1/(2k)\big)$ доказано двойное неравенство $5/12\le C^{*}_{k}<\big(2+e^{-2}\big) \,C_{*}.$

Ключевые слова:  разностный оператор, $k$-ый модуль непрерывности, оценка нормы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Shapiro H.S. A Tauberian theorem related to approximation theory // Acta Math. 1968. Vol. 120. P. 279–292.

2.   Shapiro H.S. Smoothing and approximation of functions. New York etc.: Van Nostrand Reinhold Company, 1969. VIII, 134 p.

3.   Boman J., Shapiro H.S. Comparison theorems for a generalized modulus of continuity // Ark. Mat. 1971. Vol. 9, no. 1–2. P. 91–116.

4.   Foucart S., Kryakin Y., Shadrin A. On the exact constant in the Jackson–Stechkin inequality for the uniform metric // Constr. Approx. 2009. Vol. 29, no. 2. P. 157–179.

5.   Babenko, A.G., Kryakin Yu.V., Staszak P.T. Special Moduli of Continuity and the Constant in the Jackson–Stechkin Theorem // Constr. Approx. 2013. Vol. 38, no 3. P. 339–364.

6.   Бабенко А.Г., Крякин Ю.В. О константах в теореме Джексона — Стечкина в случае приближения алгебраическими многочленами // Тр. МИАН. 2018. Т. 303. С. 26–38.

7.   Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1951. T. 15, № 3. С. 219–242.

8.   Брудный Ю.А. Приближение функций алгебраическими многочленами // Изв. АН СССР. Сер. математическая. T. 32, № 4. С. 780–787.

9.   Whitney H. Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets // Trans. Am. Math. Soc. 1934. Vol. 36. P. 63–89.

10.   Whitney H. Functions differentiable on the boundaries of regions // Annals of Math. Second Series. 1934. Vol. 35. P. 482–485.

11.   Whitney H. Differentiable functions defined in arbitrary subsets of Euclidean space // Trans. Amer. math. Soc. 1936. Vol. 40. P. 309–317.

12.   Whitney H. On the extension of differentiable functions // Bull. Am. Math. Soc. 1944. Vol. 50. P. 76–81.

13.   Дзядык В.К. О продолжении функций, удовлетворяющих условию Липшица в метрике $L_p$ // Мат. сб. 1956. Т. 40 (82), № 2. С. 239–242.

14.   Бесов О.В. О продолжении функций с сохранением свойств интегрального модуля гладкости второго порядка // Мат. сб. 1962. Т. 58 (100), № 2. С. 673–684.

15.   Бесов О.В. Продолжение функций за пределы области с сохранением дифференциально-разностных свойств в $L_p$ // Мат. сб. 1965. Т.  66 (108), № 1. С. 80–96.

16.   Виноградов О.Л., Жук В.В. Оценки функционалов с известным конечным набором моментов через модули непрерывности высоких порядков в пространствах функций, заданных на отрезке // Алгебра и анализ. 2013. T. 25, № 3. С. 86–120.

17.   Stekloff W. Sur les problemes de representation des fonctions a l’aide de polynomes, du calcul approche des integrales definies, du developpement des fonctions en series infinies suivant les polynomes et de l’interpolation, consideres au point de vue des idees de Tchebycheff. // Proc. Int. Math. Congr. (Toronto, 1924). Toronto: Univ. Toronto Press, 1928. Vol. 1. P. 631–640.

18.   Whitney H. On the functions with bounded n-th differences // J. Math. Pures Appl., IX. Ser. 1957. Vol. 36. P. 67–95.

19.   Kryakin Yu.V. Whitney’s constants and Sendov’s conjectures // Math. Balkanica, New Ser. 2002. Vol. 16, no. 1–4. P. 235–247.

20.   Gilewicz J., Shevchuk I.A., Kryakin Yu.V. Boundedness by 3 of the Whitney interpolation constant // J. Approx. Theory. 2002. Vol. 119, no. 2. P. 271–290.

21.   Kryakin Yu.V. On the theorem of H.Whitney in spaces $L_p$, 1 ≤ p ≤∞ // Math. Balkanica, New Ser. 1990. Vol. 4, no. 3. P. 258–271.

22.   Крякин, Ю.В., Коваленко, Л.Г. О константах Уитни в классах $L_p$, 1 ≤ p ≤ ∞ // Изв. вузов. Матем. 1992. № 1. С. 69–77.

Поступила 13.07.2020

После доработки 15.11.2020

Принята к публикации 23.11.2020

Бабенко Александр Григорьевич
д-р физ.-мат. наук, зав. отд.
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: babenko@imm.uran.ru

Kryakin, Yuriy
dr hab.
Mathematical Institute
University of Wroclaw
e-mail: kryakin@math.uni.wroc.pl

Ссылка на статью: А.Г. Бабенко, Ю.В. Крякин. О нормах разностных операторов Бомана – Шапиро // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. С. 64-75

English

A.G. Babenko, Yu.V. Kryakin. On the norms of Boman–Shapiro difference operators

For given $k\in\mathbb N$ and $h>0$, an exact inequality $\|W_{2k}(f,h)\|_{C}\le C_{k}\,\|f\|_{C}$ is considered on the space $C=C(\mathbb R)$ of continuous functions bounded on the real axis $\mathbb R=(-\infty,\infty)$ for the Boman-Shapiro difference operator $$W_{2k}(f,h)(x):=\displaystyle\frac{(-1)^k}{h}\displaystyle\int\limits_{-h}^h\!{\binom {2k} k}^{\!-1}\widehat \Delta_t^{2k}f(x)\Big(1-\frac{|t|}h\Big)\, dt,$$ where $\widehat\Delta_t^{2k} f(x):=\sum_{j=0}^{2k} (-1)^{j} \binom{2k}{j} f(x+jt-kt)$ is the central finite difference of a function $f$ of order $2k$ with step $t$. For each fixed $k\in\mathbb N$, the exact constant $C_{k}$ in the above inequality is the norm of the operator $W_{2k}(\cdot,h)$ from $C$ to $C$. It is proved that $C_{k}$ is independent of $h$ and increases in $k$. A simple method is proposed for the calculation of the constant $C_{*}=\lim\limits_{k\to\infty}C_{k}=2.6699263\dots$ with accuracy $10^{-7}$. We also consider the problem of extending a continuous function $f$ from the interval $[-1,1]$ to the axis $\mathbb{R}$. For extensions $g_f:=g_{f,k,h}$, $k\in\mathbb N$, $0<h<1/(2k)$, of functions $f\in C[-1,1]$, we obtain new two-sided estimates for the exact constant $C^{*}_{k}$ in the inequality $\|W_{2k}(g_f,h)\|_{C(\mathbb R)}\le C^{*}_{k}\,\omega_{2k}(f,h)$, where $\omega_{2k}(f,h)$ is the modulus of continuity of $f$ of order $2k$. Specifically, for any natural $k\ge 6$ and any $h\in\big(0,1/(2k)\big)$, we prove the double inequality $5/12\le C^{*}_{k}<\big(2+e^{-2}\big) \,C_{*}$.

Keywords: difference operator, $k$th modulus of continuity, norm estimate

Received July 13, 2020

Revised November 15, 2020

Accepted November 23, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00336) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University), and as part of research conducted in the Ural Mathematical Center.

Aleksandr Grigor’evich Babenko, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: babenko@imm.uran.ru

Yuriy Kryakin, dr hab., Mathematical Institute of University of Wroclaw, 48-300 Wroclaw, Poland, e-mail: kryakin@math.uni.wroc.pl

Cite this article as: A.G. Babenko, Yu.V. Kryakin. On the norms of Boman–Shapiro difference operators, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 4, pp. 64–75.

[References -> on the "English" button bottom right]