Р.Р. Акопян. Аналог теоремы Адамара и связанные экстремальные задачи на классе аналитических функций ... С. 32-47

УДК 517.977

MSC: 30C85, 65E05, 30H99

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-32-47

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 18-01-00336), Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013) и в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре.

Исследуется несколько взаимосвязанных экстремальных задач для аналитических функций в конечносвязной области $G$ c жордановой спрямляемой границей $\Gamma.$ Получено точное неравенство между значением аналитической функции в  области $G$ и весовыми средними ее граничных значений

$$ |f(z_0)| \le \mathcal{C}\,  \|f\|^{\alpha}_{L^{q}_{\varphi_1}(\gamma_1)}\, \|f\|^{\beta}_{L^{p}_{\varphi_0}(\gamma_0)}, \quad z_0\in G,\quad 0<q, p\le\infty, $$

на двух измеримых подмножествах $\gamma_1$ и $\gamma_0=\Gamma\setminus\gamma_1$ границы области, являющееся аналогом теорем Адамара о трех кругах и братьев Неванлинна о двух константах. Для двусвязной области $G$ и $1\le q,p\le\infty$ изучается, когда неравенство дает значение модуля непрерывности функционала аналитического продолжения функции в заданную точку области с части границы $\gamma_1.$ В этих случаях решены соответствующие задача оптимального восстановления функции в точке области по приближенно заданным граничным значениям на $\gamma_1$ и задача наилучшего приближения функционала линейными ограниченными функционалами. Случай односвязной области $G$ ранее полностью исследован.

Ключевые слова: аналитические функции,  оптимальное восстановление функционала, наилучшее приближение неограниченного функционала ограниченными, гармоническая мера

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Акопян Р.Р. Наилучшее приближение оператора аналитического продолжения на классе аналитических в кольце функций // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 4. С. 3–13.

2.   Акопян Р.Р. Оптимальное восстановление аналитической функции в двусвязной области по ее приближенно заданным граничным значениям // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 4. С. 14–19.

3.   Акопян Р.Р. Аналог теоремы о двух константах и оптимальное восстановление аналитических функций // Мат. сб. 2019. Т. 210, № 10. С. 3–36. doi: 10.4213/sm8952 

4.   Арестов В.В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Мат. заметки. 1977. Т. 22, № 2. C. 231–244.

5.   Арестов В.В. Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи // Тр. МИАН: cб. тр. Всесоюзной школы по теории функций (Душанбе, август 1986 г.). Т. 189. C. 3–20.

6.   Арестов В.В., Габушин В.Н. Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными // Изв. вузов. Математика. 1995. № 11. C. 42–68.

7.   Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, вып. 6(312). С. 89–124.

8.   Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных и их приложения. Киев: Наук. думка, 2003. 591 c.

9.   Бахвалов Н.С. Об оптимальности линейных методов приближения операторов на выпуклых классах функций // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1971. Т. 11, № 4. С. 1014–1016.

10.   Габушин В.Н. Наилучшее приближение функционалов на некоторых множествах // Мат. заметки. 1970. Т. 8, вып. 5. C. 551–562.

11.   Голузин Г.М. Решение основных плоских задач математической физики для случая уравнения Laplace’a и многосвязных областей, ограниченных окружностями (метод функциональных уравнений) // Мат. сб. 1934. T. 41, № 2. C. 246–276.

12.   Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.; Л.: ГИТТЛ, 1952. М.: Наука, 1966. 628 c.

13.   Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 c.

14.   Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки, 1991. T. 50, № 6. C. 85–93.

15.   Марчук А.Г., Осипенко К.Ю. Наилучшее приближение функций, заданных в конечном числе точек // Мат. заметки. 1975. Т. 17, № 3. С. 359–368.

16.   Марчук А.Г. Оптимальные по точности методы решения линейных задач восстановления: препринт / ВЦ СО АН СССР Новосибирск, 1976. 29 c.

17.   Осипенко К.Ю. Об оптимальных методах восстановления в пространствах Харди — Соболева // Мат. сб. 2001. Т. 192, № 2. C. 67–86.

18.   Осипенко К.Ю. Неравенство Харди — Литтлвуда — Полиа для аналитических функций из пространств Харди — Соболева // Мат. сб. 2006. Т. 197, № 3. С. 15–34.

19.   Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление линейных операторов в неевклидовых метриках // Мат. сб. 2014. Т. 205, № 10. С. 77–106.

20.   Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа: в 2 т. М.: Наука, 1978. Т. 1. 398 с.

21.   Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. 336 c.

22.   Смирнов В.И. Sur les formules de Cauchy et de Green et quelques problemes qui s’y rattachent // Изв. АН. Cер. математическая. No. 3. 1932. С. 337–372.

23.   Смоляк С.А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: дис. ... канд. физ.-мат. наук / Моск. гос. ун-т. М., 1965. 152 с.

24.   Стечкин С.Б. Неравенства между нормами производных произвольной функции // Acta Sci. Math. 1965. Т. 26. № 3-4. С. 225–230.

25.   Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. заметки. 1967. Т. 1, № 2. С. 137–148.

26.   Тумаркин Г.Ц., Хавинсон С.Я. О существовании в многосвязных областях однозначных аналитических функций с заданным модулем граничных значений // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1958. Т. 22, вып. 4. С. 543–562.

27.   Тумаркин Г.Ц., Хавинсон С.Я. Классы аналитических функций в многосвязных областях // Исследование по современным проблемам теории функций комплексного переменного: cб. тр. М.: Физматгиз, 1960. С. 45–77.

28.   Тумаркин Г.Ц., Хавинсон С.Я. Качественные свойства решений экстремальных задач некоторых типов // Исследование по современным проблемам теории функций комплексного переменного: сб. тр. М.: Физматгиз, 1960. С. 77–95.

29.   Хавинсон С.Я. Аналитические функции ограниченного вида (граничные и экстремальные свойства) // Итоги науки. Мат. анализ. 1963. ВИНИТИ, М. 1965. С. 5–80.

30.   Хавинсон С.Я. О представлении экстремальных функций в классах Eq через функции Грина и Неймана // Мат. заметки. 1974. Т. 16, № 5. С. 707–716.

31.   Arestov V.V. Best approximation of a differentiation operator on the set of smooth functions with exactly or approximately given Fourier transform // Mathematical Optimization Theory and Operations Research (MOTOR 2019) / eds. M. Khachay, Y. Kochetov, P. Pardalos. Cham: Springer, 2019. P. 434–448. (Lecture Notes in Computer Science; vol. 11548). doi: 10.1007/978-3-030-22629-9_30 

32.   Arestov V., Filatova M. Best approximation of the differentiation operator in the space $L_2$ on the semiaxis // J. Approx. Theory. 2014. Vol. 187, no. 1. P. 65–81. doi: 10.1016/j.jat.2014.08.001 

33.   Coifman R., Weiss G. A kernel associated with certain multiply-connected domains and its applications to factorization theorems // Studia Math. Vol. 28. 1966. P. 31–68.

34.   Gonzalez-Vera P., Stessin M.I. Joint spectra of Toeplitz operators and optimal recovery of analytic functions // Constr. Approx. 2012. Vol. 36, no. 1. P. 53–82. doi: 10.1007/s00365-012-9169-8 

35.   Garnett J.B., Marshall D.E. Harmonic measure. N Y: Cambridge University Press, 2005. 571 p.

36.   DeGraw A. Optimal recovery of holomorphic functions from inaccurate information about radial integration // Amer. J. Comput. Math. 2012. Vol. 2, no. 4. P. 258–268. doi: 10.4236/ajcm.2012.24035 

37.   Khavinson S. Ya., Kuzina T.S. The structural formulae for extremal functions in Hardy classes on finite Riemann surfaces // Operator Theory: Advances and Applications. 2005. Vol. 158. P. 37—57. doi: 10.1007/3-7643-7340-7_4 

38.   Khavinson D. Factorization theorems for different classes of analytic functions in multiply connected domains // Pacific J. Math. 1983. Vol. 108, no. 2. P. 295–318.

39.   Osipenko K.Yu. Optimal recovery of analytic functions. Huntington: NOVA Science Publ. Inc., 2000 229 p.

40.   Osipenko K.Y., Stessin M.I. Hadamard and Schwarz type theorems and optimal recovery in spaces of analytic functions // Constr. Approx. 2010. Vol. 31. P. 37–67. doi: 10.1007/s00365-009-9043-5 

41.   Robinson R.M. Analytic functions in circular rings // Duke Math. J. 1943. Vol. 10, no. 2. P. 341—354.

Поступила 13.07.2020

После доработки 5.10.2020

Принята к публикации 26.10.2020

Акопян Роман Размикович
канд. физ.-мат. наук, доцент
Уральский федеральный университет;
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: RRAkopyan@mephi.ru

Ссылка на статью: Р.Р. Акопян. Аналог теоремы Адамара и связанные экстремальные задачи на классе аналитических функций // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26, № 4. С. 32-47

English

R.R. Akopyan. Analog of the Hadamard theorem and related extremal problems on the class of analytic functions

We study several related extremal problems for analytic functions in a finitely connected domain $G$ with rectifiable Jordan boundary $\Gamma$. A sharp inequality is established between values of a function analytic in $G$ and weighted means of its boundary values on two measurable subsets $\gamma_1$ and $\gamma_0=\Gamma\setminus\gamma_1$ of the boundary:
$$ |f(z_0)| \le \mathcal{C}\, \|f\|^{\alpha}_{L^{q}_{\varphi_1}(\gamma_1)}\, \|f\|^{\beta}_{L^{p}_{\varphi_0}(\gamma_0)},\quad z_0\in G, \quad 0<q, p\le\infty.$$
The inequality is an analog of Hadamard's three-circle theorem and the Nevanlinna brothers' theorem on two constants. In the case of a doubly connected domain $G$ and $1\le q,p\le\infty$, we study the cases where the inequality provides the value of the modulus of continuity for a functional of analytic extension of a function from a part of $\gamma_1$ to a given point of the domain. In these cases, the corresponding problems of optimal recovery of a function from its approximate boundary values on $\gamma_1$ and of the best approximation of a functional by linear bounded functionals are solved. The case of a simply connected domain $G$ has been completely investigated previously.

Keywords: analytic functions, optimal recovery of a functional, best approximation of an unbounded functional by bounded functionals, harmonic measure

Received July 13, 2020

Revised October 5, 2020

Accepted October 26, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00336) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University), and as part of research conducted in the Ural Mathematical Center.

Roman Razmikovich Akopyan, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: RRAkopyan@mephi.ru

Cite this article as: R.R. Akopyan. Analog of the Hadamard theorem and related extremal problems on the class of analytic functions, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 4, pp. 32–47.

[References -> on the "English" button bottom right]