В.В. Арестов, Р.Р. Акопян. Задача Стечкина о наилучшем приближении неограниченного оператора ограниченными и родственные ей задачи ... С. 7-31

УДК 517.518+517.983

MSC: 26D10, 47A58

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-7-31

Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре, при поддержке РФФИ (проект 18-01-00336) и Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013).

В данной статье обсуждаются задача Стечкина о наилучшем приближении линейного неограниченного оператора линейными ограниченными операторами и родственные ей экстремальные задачи. Наибольшее внимание уделено приближению операторов дифференцирования в пространствах Лебега на оси и оператору продолжения аналитической функции в область с части границы области. Это обзорная статья; она написана по материалам доклада авторов 14 сентября 2020 г. на X Интернет-видеоконференции “День математика и механика” четырех институтов РАН: Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН (г. Екатеринбург), Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН (г. Новосибирск), Математический институт им. В. А. Стеклова (г. Москва), Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова. Сообщение авторов было посвящено 100-летию со дня рождения Сергея Борисовича Стечкина. Задача о наилучшем приближении линейного неограниченного оператора ограниченными — одна из составляющих его наследия. Мы старались хотя бы частично отразить появившиеся в этой тематике новые результаты, методы и новые постановки после выхода обзорных статей (Арестов, Габушин, 1995-1996). По этой тематике материала очень много, и его отбор для доклада и статьи — ответственность авторов.

Ключевые слова: задача Стечкина, восстановление, неограниченный линейный оператор, оператор дифференцирования, неравенство Колмогорова, аналитические функции, граничные значения

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Стечкин С.Б. Неравенства между нормами производных произвольной функции // Acta Sci. Math. 1965. Vol. 26, № 3–4. P. 225–230.

2.   Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. заметки. 1967. Т. 1, вып. 2. C. 137–148.

3.   Стечкин С.Б. Избранные труды. Математика. М.: Наука. Физматлит, 1998. 384 c.

4.   Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 c.

5.   Арестов В.В., Габушин В.Н. Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными // Изв. вузов. Мат. 1995. № 11. C. 42–68.

6.   Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, вып. 6. С. 89–124. doi: 10.4213/rm1019 

7.    Тихомиров В.М., Магарил-Ильяев Г.Г. Неравенства для производных // Колмогоров А.Н. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985. С. 387–390.

8.   Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных и их приложения Киев: Наук. думка, 2003. 591 c.

9.   Габушин В.Н. Наилучшее приближение функционалов на некоторых множествах // Мат. заметки. 1970. Т. 8, № 5. С. 551–562.

10.   Hardy G.H., Littlewood J.E. Contribution to the arithmetic theory of series // Proc. London Math. Soc. (2). 1912. Vol. 11. P. 411–478.

11.   Landau E. Einige Ungleichungen fur zweimal differentierbare Funktionen // Proc. London Math. Soc. (2). 1913. Vol. 13. P. 43–49.

12.   Hadamard J. Sur le module maximum d’une fonction et de ses derivees // Soc. math. France, Comptes rendus des Seances. 1914. Vol. 41. P. 68–72.

13.   Боссе Ю.Г. (Шилов Г.Е.) О неравенствах между производными // Сб. работ студ. науч. кружков МГУ. 1937. Т. 1. С. 17–27.

14.   Колмогоров А.Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале // Избранные труды. Математика, механика. М.: Наука, 1985. С. 252–263. (Уч. зап. Моск. ун-та. Математика, кн. 3, 1939. Т. 30. С. 3–16.)

15.   Габушин В.Н. Неравенства для норм функции и ее производных в метриках $L_p$ // Мат. заметки. 1967. Т. 1, № 3. С. 291–298.

16.   Буслаев А.П., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. О существовании экстремальной функции в неравенстве для производных // Мат. заметки. 1982. Т. 32, № 6. С. 823–834.

17.   Арестов В.В. О наилучшем приближении операторов дифференцирования // Мат. заметки. 1967. Т. 1, № 2. С. 149–154.

18.   Буслаев А.П. О приближении оператора дифференцирования // Мат. заметки. 1981. Т. 29, № 5. С. 731–742.

19.   Тимофеев В.Г. Метод Н. П. Купцова построения экстремальной функции в неравенстве между равномерными нормами производных функций на полуоси // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 220–239. doi: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-220-239 .

20.   Субботин Ю.Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение оператора дифференцирования в пространстве $L_2$ // Мат. заметки. 1968. Т. 3, № 2. С. 157–164.

21.   Тайков Л.В. Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования // Мат. заметки. 1968. Т. 4, № 2. С. 233–238.

22.   Арестов В.В. О точных неравенствах между нормами функций и их производных // Acta Sci. Math. 1972. T. 33, № 3–4. P. 243–267.

23.   Арестов В.В. Приближение операторов, инвариантных относительно сдвига // Тр. МИАН СССР. 1975. Т. 138. С. 43–70.

24.   Арестов В.В. О наилучшем приближении операторов дифференцирования в равномерной метрике: Дис. …канд. физ.-мат. наук. Свердловск, 1969. 89 c.

25.   Бердышев В.И. Наилучшее приближение в $L[0,\infty)$  оператора дифференцирования // Мат. заметки. 1971. Т. 9, № 5. C. 477–481.

26.   Габушин В.Н. О наилучшем приближении оператора дифференцирования на полупрямой // Мат. заметки. 1969. Т. 6, № 5. С. 573–582.

27.   Arestov V.V., Filatova M.A. Best approximation of the differentiation operator in the space $L_2$ on the semiaxis // J. Approx. Theory. 2014. Vol. 187. P. 65–81. doi: 10.1016/j.jat.2014.08.001 .

28.   Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948. 456 с.

29.   Габушин В.Н. О наилучшем приближении оператора дифференцирования в метрике $L_p$ // Мат. заметки. 1972. Т. 12, № 5. С. 531–538.

30.   Арестов В.В. Наилучшее приближение неограниченных операторов, инвариантных относительно сдвига, линейными ограниченными операторами // Тр. МИАН. 1992. Т. 198. С. 3–20.

31.   Арестов В.В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Мат. заметки. 1977. Т. 22, № 2. С. 231–244.

32.   Арестов В.В. Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи // Тр. МИАН СССР. 1989. Т. 189. С. 3–20.

33.   Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 333 с.

34.   Lorentz G.G. Approximation of functions. N Y: Holt, Rinehalt & Winston, 1966. 188 p.

35.   Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М., Изд-во МГУ, 1976. 304 с.

36.   Арестов В.В. Приближение инвариантных операторов // Мат. заметки. 1983. Т. 34, № 1. C. 9–29.

37.   Арестов В.В. Приближение операторов типа сверки линейными ограниченными операторами // Тр. МИАН. 1980. Т. 145. C. 3–19.

38.   Арестов В.В. О наилучшем приближении оператора дифференцирования // Приближение функций полиномами и сплайнами: cб. ст. Свердловск, 1985. С. 3–14.

39.   Arestov V.V. On the best approximation of the differentiation operator // Ural Math. J. 2015. Vol. 1, no. 1. P. 20–29. doi: 10.15826/umj.2015.1.002 

40.   Хермандер Л. Оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига. М.: ИЛ, 1962. 71 с.

41.   Larsen R. An introduction to the theory of multipliers. Berlin etc.: Springer, 1971. 282 p.

42.   Figa-Talamanca A. Translation invariant operators in $L^p$ // Duke. Math. J. 1965. Vol. 32. P. 495–502.

43.   Арестов В.В. О сопряженности пространства мультипликаторов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 5–14. doi: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-5-14 

44.   Arestov V. Uniform approximation of differentiation operators by bounded linear operators in the space $L_r$ // Anal. Math. 2020. Vol. 46, no. 3. P. 425–445. doi: 10.1007/s10476-020-0040-z 

45.   Арестов В.В. Наилучшее равномерное приближение оператора дифференцирования ограниченными в пространстве $L_2$ операторами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 4. С. 34–56. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-34-56 

46.   Arestov V.V. Best approximation of a differentiation operator on the set of smooth functions with exactly or approximately given Fourier transform // Mathematical Optimization Theory and Operations Research (MOTOR 2019) / eds. M. Khachay, Y. Kochetov, P. Pardalos. Cham: Springer, 2019. P. 434–448.

47.   Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624 c.

48.   Коновалов В.Н. Точные неравенства для норм функций, третьих частных, вторых смешанных или косых производных // Мат. заметки. 1978. Т. 23, № 1. С. 67–78.

49.   Тимошин О.А. Наилучшее приближение оператора второй смешанной производной в метриках $L$ и $C$ на плоскости // Мат. заметки. 1984. Т. 36, № 3. С. 369–375.

50.   Тимошин О.А. Точные неравенства между нормами частных производных второго и третьего порядка // Докл. РАН. 1995. Т. 344, № 1. С. 20–22.

51.   Тимофеев В.Г. Неравенство типа Ландау для функций нескольких переменных // Мат. заметки. 1985. Т. 37, № 5. С. 676–689.

52.   Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки. 1967. Т. 1, вып. 2. С. 155–162.

53.   Акопян Р.Р., Саидусайнов М.С. Три экстремальные задачи в пространствах Харди и Бергмана аналитических функций в круге // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23, № 3. C. 22–32.

54.   Тайков Л.В. Аналитическое продолжение функций с ошибкой // Тр. МИАН СССР. 1971. Т. 109. С. 61—64.

55.   Акопян Р.Р. Наилучшее приближение оператора аналитического продолжения на классе аналитических в кольце функций // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 4. С. 3–13.

56.   Осипенко К.Ю., Стесин М.И. О некоторых задачах оптимального восстановления аналитических и гармонических функций по неточным данным // Сиб. мат. журн. 1993. T. 34, № 3. C. 144–160.

57.   Осипенко К.Ю., Стесин М.И. Оптимальное восстановление производных ограниченных аналитических и гармонических функций по неточным данным // Мат. заметки. 1993. Т. 53, № 5. С. 87–97.

58.   Осипенко К.Ю. Об n-поперечниках, оптимальных квадратурных формулах и оптимальном восстановлении функций, аналитических в полосе // Изв. РАН. Сер. математическая. 1994. Т. 58, № 4. С. 55–79.

59.   Осипенко К.Ю. Неравенства для производных аналитических в полосе функций // Мат. заметки. 1994. Т. 56, № 4. С. 114–122.

60.   Osipenko K.Yu. Optimal recovery of analytic functions. Huntington: NOVA Science Publ.Inc., 2000. 229 p.

61.   Осипенко К.Ю. Об оптимальных методах восстановления в пространствах Харди — Соболева // Мат. сб. 2001. Т. 192, № 2. C. 67–86.

62.   Осипенко К.Ю. Неравенство Харди — Литтлвуда — Полиа для аналитических функций из пространств Харди — Соболева // Мат. сб. 2006. Т. 197, № 3. С. 15–34.

63.   Osipenko K.Yu., Stessin M.I. Hadamard and Schwarz type theorems and optimal recovery in spaces of analytic functions // Constr. Approx. 2010. Vol. 31. P. 37–67. doi: 10.1007/s00365-009-9043-5 

64.   Акопян Р.Р. Аналог теоремы о двух константах и оптимальное восстановление аналитических функций // Мат. сб. 2019. Т. 210, № 10. С. 3–36.

65.   Akopyan R.R. Optimal recovery of a derivative of an analytic function from values of the function given with an error on a part of the boundary. II // Anal. Math. 2020. Vol. 46, № 3. P. 409–424. doi: 10.1007/s10476-020-0039-5 

66.    Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. 1980. М.: Наука. 286 c.

Поступила 11.10.2020

После доработки 1.11.2020

Принята к публика:ции 16.11.2020

Арестов Виталий Владимирович
доктор физ.-мат. наук, профессор
Уральский федеральный университет;
ведущий научный сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru

Акопян Роман Размикович
канд. физ.-мат. наук, доцент
Уральский федеральный университет;
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: RRAkopyan@mephi.ru

Ссылка на статью: В.В. Арестов, Р.Р. Акопян. Задача Стечкина о наилучшем приближении  неограниченного оператора ограниченными  и родственные ей задачи // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26, № 4. С. 7-31

English

V.V. Arestov, R.R. Akopyan. Stechkin’s problem on the best approximation of an unbounded operator by bounded ones and related problems

This paper discusses Stechkin’s problem on the best approximation of a linear unbounded operator by bounded linear operators and related extremal problems. The main attention is paid to the approximation of differentiation operators in Lebesgue spaces on the axis and to the operator of the continuation of an analytic function to a domain from a part of the boundary of the domain. This is a review paper based on the materials of the authors’ lecture on September 14, 2020, at the X Internet video-conference “Day of Mathematics and Mechanics” of four institutes of the Russian Academy of Sciences: Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of RAS (Yekaterinburg), Sobolev Institute of the Siberian Branch of RAS (Novosibirsk), Steklov Mathematical Institute (Moscow), and the St. Petersburg Department of the Steklov Mathematical Institute. The lecture of the authors was dedicated to the 100th anniversary of the birth of Sergei Borisovich Stechkin. The problem of the best approximation of a linear unbounded operator by bounded ones is one of his legacies. We tried to at least partially reflect the new results, methods, and statements that appeared in this topic after the publication  of the review papers (Arestov, Gabushin, 1995-1996). The material on this topic is wide; the selection of the material for the lecture and paper is the responsibility of the authors.

Keywords: Stechkin’s problem, recovery, unbounded linear operator, differentiation operator, Kolmogorov inequality, analytic functions, boundary values

Received October 11, 2020

Revised November 1, 2020

Accepted November 16, 2020

Funding Agency: This work was performed as a part of the research conducted in the Ural Mathematical Center and also supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00336) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Vitalii Vladimirovich Arestov, Dr. Phys.-Math. Sci., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru

Roman Razmikovich Akopyan, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; e-mail: RRAkopyan@mephi.ru

Cite this article as: V.V. Arestov, R.R. Akopyan. Stechkin’s problem on the best approximation of an unbounded operator by bounded ones and related problems, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 4, pp. 7–31.

[References -> on the "English" button bottom right]