В.М. Синицин, А.И. Созутов. О связи некоторых групп, порожденных 3-транспозициями, с группами Кокстера ... C. 234-243

УДК 512. 544

MSC: 20C40

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-234-243

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в рамках научного проекта №19-01-00566 A.

Группы  Кокстера, более известные как группы, порожденные отражениями, имеют многочисленные приложения в различных областях математики и за ее пределами. Группы с 3-транспозициями Фишера также связаны со многими структурами: конечные простые группы, тройные графы,  геометрии различных пространств, алгебры Ли и др. Пересечение этих классов групп  состоит из конечных групп Вейля  $W(A_n)\simeq S_{n+1}$, $W(D_n)$, $W(E_n)$ ($n=6,7,8$) простых конечномерных алгебр и групп Ли. В работе продолжается исследование связи между конечными группами $Sp_{2l}(2)$ и $O^\pm_{2l}(2)$ из пп. (ii)-(iii) теоремы Фишера и бесконечными группами Кокстера. Организующей основой исследуемой связи являются общие графы-деревья Кокстера $\Gamma_n$ с вершинами $\{ 1,\ldots,n\}$. Каждой вершине $i$ графа $\Gamma_n$ ставятся в соответствие порождающая инволюция  (отражение) $s_i$ группы Кокстера $G_n$,  базисный вектор  $e_i$ пространства $V_n$ над полем $F_2$ из двух элементов и порождающая трансвекция $w_i$ подгруппы $W_n=\langle w_1,\ldots,w_n\rangle$ из $SL(V_n)=SL_n(2)$. Графу $\Gamma_n$ соответствует точно одна группа Кокстера ранга $n$: $G_n=\langle s_1,\ldots,s_n\mid (s_is_j)^{m_{ij}},\, m_{ij}\leq 3\rangle$, где $m_{ii}=1$, $1\leq i<j\leq n$ и $m_{ij}=3$ или $m_{ij}=2$ в зависимости от того, есть в $\Gamma_n$ ребро $(i,j)$ или такого ребра нет. Определенная по графу $\Gamma_n$ форма превращает $V_n$ в ортогональное пространство, группа изометрий $W_n$  которого порождается указанными выше трансвекциями (3-транспозциями)  $\{ w_1,\ldots,w_n\}$; при этом в $W_n$ выполняются соотношения $(w_iw_j)^{m_{ij}}=1,$ и, значит, отображение $s_i\to w_i$ ($i=1,\ldots,n$) продолжается до сюрьективного гомоморфима $G_n\to W_n$. В предыдущей работе авторов для всех групп $W_n=O^\pm_{2l}(2)$ ($n=2l\geq 6$) и $W_n= Sp_{2l}(2)$ ($n=2l+1\geq 7$) был указан алгоритм перечисления соответствующих им графов-деревьев $\Gamma_n$ с помощью  группировки их по $E$-сериям вложенных друг в друга графов. В настоящей работе установлена самая тесная генетическая связь между  группами $O^\pm_{2l}(2)$, $Sp_{2l}(2)\times \mathbb{Z}_2$ ($3\leq l\leq 10$) и соответствующими (бесконечными) группами Кокстера $G_n$  с разницей в генетических кодах  точно на один ген (соотношение). Для  групп $W_n$  c графами $\Gamma_n$ из $E$-серий $\{ E_n\}$, $\{ I_n\}$, $\{ J_n\}$ и  $\{ K_n\}$ дополнительные слова-соотношения выписаны в явном виде.

Ключевые слова: группы с  3-транспозициями, графы и группы Кокстера, генетические коды

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Fischer B. Finite groups generated by 3-transpositions // WMI Preprints. Coventry (UK): University of Warwick, 1969.

2.   Горенстейн Д. Конечные простые группы. М.: Мир, 1985. 352 p.

3.   McLaughlin J. Some subgroups of $SL_n(F_2)$ // Ill. J. Math. 1969. Vol. 13, iss. 1, P. 108–115.

4.   Созутов А.И. О группах типа $\Sigma _4$, порожденных 3-транспозициями // Сиб. мат. журн. 1992. T. 33, № 1. C. 140–149.

5.   Hall J.I. Graphs, geometry, 3-transposition, and symplectic $F_2$-transvection groups // Proc. London Math. Soc. 1989. Vol. 58. P. 89–111.

6.   Созутов А.И. Об алгебрах Ли с мономиальным базисом // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 5.– С. 188–201.

7.   Aschbacher M. 3-transposition groups. Cambridge: Cambridge University Press, 1997. 260 p.

8.   Matsuo A. 3-transposition groups of symplectic type and vertex operator algebras // J. Math. Soc. Japan. 2005. Vol 57, № 3, P. 639–649.

9.   Созутов А.И., Кузнецов А.А., Синицин В.М. О системах порождающих некоторых групп с 3-транспозициями // Сиб. мат. электрон. изв. 2013. Т. 10. С. 285–301. doi: 10.17377/semi.2013.10.022 

10.   Hall J.I., Shpectorov S. The spectra of finite 3-transpositions groups [e-resource]. 2018. 35 p. URL: arXiv:1809.03696 

11.   Griess R.L. Jr. A vertex operator algebra related to $E_8$ with avtomorphism group $O^+(10,2)$  // Ohio State Univ. Math. Res. Inst. Vol. 7. Berlin: Publ. de Gruyter, 1998. P. 43–58 .

12.   Cuypers H., Horn M., J. in ′t panhuis., Shpectorov S. . Lie algebras and 3-transpositions [e-resource]. URL: arXiv: 1104.0536. 2011. 23 p.

13.   Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Группы, порожденные отражениями. Гл. IV–VI. М.: Мир, 1972. 334 c.

14.   Коксетер Г.С.М., Мозер У.О.Дж. Порождающие элементы и определяющие элементы дискретных групп. М.: Наука, 1980. 240 с.

15.   Кондратьев А.С. Группы и алгебры Ли. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2009. 310 с.

16.   О’Мира О. Лекции о симплектических группах. М.: Мир, 1979. 167 с.

17.   J.H. Conway, R.T. Curtis, S.P. Norton, R.A. Parker, R.A. Wilson An atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p.

Поступила 19.05.2020

После доработки 4.11.2020

Принята к публикации 16.11.2020

Созутов Анатолий Ильич
д-р физ.-мат. наук, профессор
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: sozutov_ai@mail.ru

Синицин Владимир Михайлович
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: sinkoro@yandex.ru

Ссылка на статью: В.М. Синицин, А.И. Созутов. О связи некоторых групп, порожденных 3-транспозициями, с группами Кокстера // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. C. 234-243

English

V.M. Sinitsin, A.I. Sozutov. On the connection of some groups generated by 3-transpositions with Coxeter groups

Coxeter groups, more commonly known as reflection-generated groups, have numerous applications in various fields of mathematics and beyond. Groups with Fischer's 3-transpositions are also related to many structures: finite simple groups, triple graphs, geometries of various spaces, Lie algebras, etc. The intersection of these classes of groups consists of finite Weyl groups $W(A_n)\simeq S_{n+1}$, $W(D_n)$, and $W(E_n)$ ($n=6,7,8$) of simple finite-dimensional algebras and Lie groups. The paper continues the study of the connection between the finite groups $Sp_{2l}(2)$ and $O^\pm_{2l}(2)$ from clauses (ii)-(iii) of Fischer's theorem and infinite Coxeter groups. The organizing basis of the connection under study is general Coxeter tree graphs $\Gamma_n$ with vertices $\{ 1,\ldots, n\}$. To each vertex $i$ of the graph $\Gamma_n$, we assign the generating involution (reflection) $s_i$ of the Coxeter group $G_n$, the basis vector $e_i$ of the space $V_n$ over the field $F_2$ of two elements, and the generating transvection $w_i$ of the subgroup $W_n=\langle w_1,\ldots,w_n\rangle$ of $SL(V_n)=SL_n(2)$. The graph $\Gamma_n$ corresponds to exactly one Coxeter group of rank $n$: $G_n=\langle s_1,\ldots,s_n\mid (s_is_j)^{m_{ij}},\, m_{ij}\leq 3\rangle$, where $m_{ii}=1$, $1\leq i<j\leq n$, and $m_{ij}=3$ or $m_{ij}=2$ depending on whether $\Gamma_n$ contains the edge $(i,j)$. The form defined by the graph $\Gamma_n$ turns $V_n$ into an orthogonal space whose isometry group $W_n$ is generated by the mentioned transvections (3-transpositions) $\{ w_1,\ldots, w_n\}$; in this case, the relations $(w_iw_j)^{m_{ij}}=1$ hold in $W_n$ and, therefore, the mapping $s_i\to w_i$ ($i=1,\ldots,n$) is continued to the surjective homomorphism $G_n\to W_n$. In the authors' previous paper, for all groups $W_n=O^\pm_{2l}(2)$ ($n=2l\geq 6$) and $W_n= Sp_{2l}(2)$ ($n=2l+1\geq 7$), an algorithm was given for enumerating the corresponding tree graphs $\Gamma_n$ by grouping them according to $E$-series of nested graphs. In the present paper, a close genetic connection is established between the groups $O^\pm_{2l}(2)$ and $Sp_{2l}(2)\times \mathbb{Z}_2$ ($3\leq l\leq 10$) and the corresponding (infinite) Coxeter groups $G_n$ with the difference in their genetic codes by exactly one gene (relation). For the groups $W_n$ with the graphs $\Gamma_n$ from the $E$-series $\{E_n\}$, $\{ I_n\}$, $\{ J_n\}$, and $\{ K_n\}$, additional word relations are written explicitly.

Keywords: groups with 3-transpositions, Coxeter graphs and groups, genetic codes

Received May 19, 2020

Revised November 4, 2020

Accepted November 16, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 19-01-00566 A.)

Sozutov Anatoly Ilich, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: sozutov_ai@mail.ru

Vladimir Mihaylovich Sinitsin, Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: sinkoro@yandex.ru

Cite this article as: V.M. Sinitsin, A.I. Sozutov. On the connection of some groups generated by 3-transpositions with Coxeter groups, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 4, pp. 234–243.

[References -> on the "English" button bottom right]