Д.С. Теляковский, С.А. Теляковский. О геометрическом подходе к нахождению условных экстремумов ... C. 244-254

УДК 517.51

MSC: 26B10

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-244-254

Даны геометрическая интерпретация и геометрическое доказательство необходимого условия существования условного экстремума. Изложенный подход применим к нахождению условных экстремумов недифференцируемых функций (т. е. когда метод неопределенных множителей Лагранжа в "классической" форме не может быть применён). В качестве примеров рассмотрены неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, неравенства Юнга и Йенсена.

Ключевые слова: условный экстремум, поверхность уровня, множители Лагранжа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Mordukhovich Boris S. Variational analysis and generalized differentiation, I: Basic theory. Berlin: Springer-Verlag, 2006. 579 p. (Ser. Fundamental Principles of Math. Sci.; vol. 330).

2.   Vinter Richard. Optimal control. Boston: BirkhЈauser, 2010. 507 p.

3.   Santambrogio Filippo. Optimal transport for applied mathematicians: Calculus of variations, PDEs, and modeling. Basel: Birkhauser, 2015. 353 p. (Ser. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications; vol. 87).

4.   Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski R.R. Nonsmooth analysis and control theory. N Y: Springer-Verlag, 1998. 278 p. (Ser. Graduate Texts in Math.).

5.   Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: Физматлит, 2004. 416 с.

6.   Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1970. 672 c.

7.   Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т. 2. М.: Дрофа, 2004. 720 с.

8.   Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. М.: Наука, 1972. 624 с.

9.   Lowan A.N. Note on an elementary method for generating inequalities. Scripta Mathematica. 1955. Vol. 21, no. 2–3. P. 218–220.

10.   Балк М.Б. Геометрические приложения понятия о центре тяжести. М.: Физматлит, 1959. 230 c. (Сер. Библиотека математического кружка; вып. 9).

Поступила 9.01.2020

После доработки 7.10.2020

Принята к публикации 26.10.2020

Теляковский Дмитрий Сергеевич
канд. физ.-мат. наук, доцент
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
г. Москва
e-mail: dtelyakov@mail.ru

Теляковский Сергей Александрович
др. физ.-мат. наук, профессор
ведущий науч. сотрудник
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН
г. Москва
e-mail: sergeyaltel@yandex.ru

Ссылка на статью: Д.С. Теляковский, С.А. Теляковский. О геометрическом подходе к нахождению условных экстремумов  // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. C. 244-254

English

D.S. Telyakovskii, S.A. Telyakovskii. Geometric approach to finding the conditional extrema

In this paper, we give a geometric interpretation and a geometric proof of the necessary condition for the existence of a constrained extremum. The presented approach can be applied to finding constrained extrema of nondifferentiable functions (i.e., when  Lagrange's method of undetermined multipliers is not applicable in the "classical" form). The following examples are considered: the inequality of arithmetic and geometric means, Young's inequality for products, and Jensen's inequality.

Keywords: constrained extremum, level surface, Lagrange multipliers.

Received January 9, 2020

Revised October 7, 2020

Accepted October 26, 2020

Dmitry Sergeevich Telyakovskii, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Prof., National Research Nuclear University (MEPhI), Moscow, 115409 Russia, e-mail: dtelyakov@mail.ru

Sergey Alexandrovich Telyakovskii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, 119991 Russia, e-mail: sergeyaltel@yandex.ru

Cite this article as: D.S. Telyakovskii, S.A. Telyakovskii. Geometric approach to finding the conditional extrema, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 4, pp. 244–254.

[References -> on the "English" button bottom right]