А.Р. Алимов. Выпуклость и монотонная линейная связность множеств с непрерывной метрической проекцией в трехмерных пространствах ... С. 28-46

УДК 517.977

MSC: 41A65

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-28-46

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты №18-01-00333-а, 19-01-00332-a) и гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ (проект НШ 6222.2018.1).

Непрерывная кривая $k(\,{\cdot}\,)$ в линейном нормированном пространстве $X$ называется монотонной, если функция $f(k(\tau))$ монотонна по $\tau$ для любого экстремального функционала $f$ из единичной сферы $S^*$ сопряженного пространства. Замкнутое множество называется монотонно линейно связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной монотонной кривой, лежащей в этом множестве. Устанавливается, что в трехмерном банаховом пространстве любое замкнутое множество c полунепрерывной снизу метрической проекцией монотонно линейно связно, если и только если норма пространства является цилиндрической или гладкой. Этот результат частично обобщает недавний результат автора этой статьи и Б.Б. Беднова, которые охарактеризовали трехмерные банаховы пространства, в которых всякое чебышёвское множество монотонно линейно связно. Мы показываем, что в конечномерном пространстве любое замкнутое множество c полунепрерывной снизу (непрерывной) метрической проекцией выпукло, если и только если пространство гладко. Получен ряд новых свойств строгих солнц в трехмерных пространствах c цилиндрической нормой. Показано, что в трехмерном пространстве c цилиндрической нормой замкнутое  множество $M$   c полунепрерывной снизу метрической проекцией является строгим солнцем. Более того, такое множество $M$ имеет стягиваемые пересечения c замкнутыми шарами и обладает непрерывной выборкой из метрической проекции. При доказательстве результатов важную роль играет новый аппарат аппроксимации единичной сферы пространства многогранниками, построенными по касательным направлениям сферы.

Ключевые слова: множество c непрерывной метрической проекцией, чебышёвское множество, солнце, монотонно линейно связное множество

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Алимов А. Р., Царьков И. Г. Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения // Успехи мат. наук. 2016. T. 71, № 1 (427). C. 3–84. doi: 10.4213/rm9698 

2.   Alimov A. R., Shchepin E. V. Convexity of suns in tangent directions // J. Convex Anal. 2019. Vol. 26, no. 4. P. 1069–1074. doi: 10.1134/S1064562419010058 

3.   Алимов А. Р., Щепин Е. B. Выпуклость чебышёвских множеств по касательным направлениям // Успехи мат. наук. 2018. T. 73, № 2(440). C. 185–186. doi: 10.4213/rm9813 

4.   Alimov A. R. Continuity of the metric projection and local solar properties of sets // Set-Valued Var. Anal. 2019. Vol. 27, no. 1. P. 213–222. doi: 10.1007/s11228-017-0449-0 

5.   Алимов А. Р. Выборки из метрической проекции и строгая солнечность множеств c непрерывной метрической проекцией // Мат. сб. 2017. T. 208, № 7. C. 3–18. doi: 10.4213/sm8765 

6.   Алимов А. Р. Монотонная линейная связность и солнечность связных по Менгеру множеств в банаховых пространствах // Изв. РАН. Сер. математическая. 2014. T. 78, № 4. C. 3–18. doi: 10.4213/im8128 

7.   Алимов А. Р. Сохранение аппроксимативных свойств подмножеств чебышевских множеств и солнц в $\ell^\infty (n)$  // Изв. РАН. Сер. математическая. 2006. T. 70, № 5. C. 3–12. doi: 10.4213/im1115 

8.   Алимов А. Р. Монотонная линейная связность множеств c непрерывной метрической проекцией // Монотонная линейная связность множеств c непрерывной метрической: Мат. междунар. научн. конф. “Современные проблемы естественных и гуманитарных наук, их роль в укреплении научных связей между странами”, посвящ. 10-летию Филиала МГУ им. М.B. Ломоносова в г. Душанбе). 2019. C. 9–10.

9.   Бердышев В. И. К вопросу о чебышёвских множествах // Докл. АзССР. 1966. T. 22, № 9. C. 3–5.

10.   Blatter J., Morris P. D., Wulbert D. E.. Continuity of the set-valued metric projection // Math. Ann. 1968. Vol. 178, no. 1. P. 12–24 doi.: 10.1007/BF01350621 

11.   Brondsted A. Convex sets and Chebyshev sets, II // Math. Scand. 1966. Vol. 18. P. 5–15.

12.   Brown A. L. Chebyshev sets and facial systems of convex sets in finite-dimensional spaces // Proc. Lond. Math. Soc. (3). 1980. Vol. 41. P. 297–339. doi.: 10.1112/plms/s3-41.2.297 

13.   Brown A. L. Suns in normed linear spaces which are finite dimensional // Math. Ann. 1987. Vol. 279, no. 1. P. 87–101. doi.: 10.1007/BF01456192 

14.   Brown A. L. On the connectedness properties of suns in finite dimensional spaces // Workshop/Miniconference on Functional Analysis and Optimization (Canberra, 1988). Proc. Centre Math. Anal. Austral. Nat. Univ. Canberra: Austral. Nat. Univ., 1988. Vol. 20. P. 1–15.

15.   Brown A. L. On the problem of characterising suns in finite dimensional spaces // Rend. Circ. Mat. Palermo (2) Suppl. 2002. Vol. 68. P. 315–328.

16.   Brown A. L. Suns in polyhedral spaces // Seminar of mathematical analysis (Malaga/Seville, 2002/2003). Colecc. Abierta. Vol. 64. Seville: Univ. Sevilla Secr. Publ., 2003. P. 139–146.

17.   Li T., Wang J., Wen H. Global structure and regularity of solutions to the eikonal equation // Arch. Rational Mech. Anal. 2019. Vol. 232. P. 1073—1112.

18.   Невесенко Н. B. Строгие солнца и полунепрерывность метрической проекции в линейных нормированных пространствах // Мат. заметки. 1978. T. 23, № 4. C. 563–572

19.   Невесенко Н. B., Ошман Е.B. Метрическая проекция на выпуклые множества // Мат. заметки. 1982. T. 31, № 1. C. 117–126.

20.   Phelps R. R. A representation theorem for bounded convex sets // Proc. Amer. Math. Soc. 1960. Vol 11. P. 976–983.

21.   Царьков И. Г. Ограниченные чебышевские множества в конечномерных банаховых пространствах // Мат. заметки. 1984. T. 36, № 1. C. 73–87.

22.   Царьков И. Г. Непрерывность метрической проекции, структурные и аппроксимативные свойства множеств // Мат. заметки. 1990. T. 47, № 2. C. 137–148.

23.   Tsar’kov I. G.. Singular sets of surfaces // Russ. J. Math. Phys. 2017. Vol. 24. P. 263–271. doi: 10.1134/S1061920817020121 

24.   Царьков И. Г. Непрерывные выборки из операторов метрической проекции и их обобщений // Изв. РАН. Сер. математическая. 2018. T. 82, № 4. C. 199–224. doi: 10.4213/im8695 

25.   Царьков И. Г. Слабо монотонные множества и непрерывная выборка из оператора почти наилучшего приближения // Тр. МИАН. 2018. T. 303. C. 246–257. doi: 10.1134/S037 

26.   Царьков И. Г. Слабо монотонные множества и непрерывная выборка в несимметричных пространствах // Мат. сб. 2019. T. 210, № 9. C. 129–152. doi: 10.4213/sm9107 

27.   Царьков И. Г. Гладкие решения уравнения эйконала и поведение локальных минимумов функции расстояния // Изв. РАН. Сер. математическая. 2019. T. 83, № 6. C. 167–194.

Поступила 19.12.2019

После доработки 28.01.2020

Принята к публикации 10.02.2020

Алимов Алексей Ростиславович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук;
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,
механико-математический факультет;
Московский Центр фундаментальной и прикладной математики
г. Москва
e-mail: alexey.alimov-msu@yandex.ru

Ссылка на статью: А.Р. Алимов. Выпуклость и монотонная линейная связность множеств с непрерывной метрической проекцией в  трехмерных пространствах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 2. С. 28-46

English

A.R. Alimov. Convexity and monotone linear connectivity of sets with a continuous metric projection in three-dimensional spaces

A continuous curve $k(\,{\cdot}\,)$ in a normed linear space $X$ is called monotone if the function $f(k(\tau))$ is monotone with respect to $\tau$ for any extreme functional$f$ of the unit dual sphere $S^*$. A closed set is monotone path-connected if any two points from it can be connected by a continuous monotone curve lying in this set. We prove that in a three-dimensional Banach space any closed set with lower semi-continuous metric projection is monotone path-connected if and only if the norm of the space is either cylindrical or smooth. This result partially extends a recent result of the author of this paper and B.B. Bednov, who characterized the three-dimensional spaces in which any Chebyshev set is monotone path-connected. We show that in a finite-dimensional Banach space any closed set with lower semi-continuous (continuous) metric projection is convex if and only if the space is smooth. A number of new properties of strict suns in three-dimensional spaces with cylindrical norm is put forward. It is shown that in a three-dimensional space with cylindrical norm a closed set $M$ with lower semi-continuous metric projection is a strict sun. Moreover, such a set $M$ has contractible intersections with closed balls and possesses a continuous selection of the metric projection operator. Our analysis depends substantially on the novel machinery of approximation of the unit sphere by polytopes built from tangent directions to the unit sphere.

Keywords: set with continuous metric projection, Chebyshev set, sun, monotone path-connected set

Received December 19, 2019

Revised January 28, 2020

Accepted February 10, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project nos. 18-01-00333-а, 19-01-00332-a) and a grant from the President of the Russian Federation for Supporting Leading Scientific Schools (project no. NSh-6222.2018.1).

Alexey R. Alimov, Dr. Phys.-Math. Sci., Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, 119991 Russia; Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Moscow, 119899 Russia; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics, Moscow, Russia, e-mail: alexey.alimov-msu@yandex.ru

Cite this article as: A.R.Alimov. Convexity and monotone linear connectivity of sets with a continuous metric projection in three-dimensional spaces. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 28–46.

[References -> on the "English" button bottom right]