Г. Акишев. Оценки наилучших приближений функций класса Никольского - Бесова в пространстве Лоренца тригонометрическими полиномами ... С. 5-27

УДК 517.51

MSC: 42A05, 42A10, 46E30

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-5-27

Работа выполнена при финансовой поддержке Программы повышения конкурентоспособности Уральского федерального университета, постановление № 211 Правительства Российской Федерации, контракт № 02.A03.21.0006.

В статье рассматриваются пространства периодических функций многих переменных, а именно пространство Лоренца $L_{p, \tau}(\mathbb{T}^{m})$, пространство Никольского - Бесова $S_{p, \tau, \theta}^{\bar{r}}B$, а также изучается наилучшее приближение функции $f \in L_{p, \tau}(\mathbb{T}^{m})$ тригонометрическими полиномами с номерами гармоник из ступенчатого гиперболического креста. Установлены достаточные условия принадлежности функции $f \in L_{p, \tau_{1}}(\mathbb{T}^{m})$ в пространство $f \in L_{q, \tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$ в случаях $1<p<q < \infty$, $1<\tau_{1}, \tau_{2} <\infty$ и $p=q$, $1<\tau_{2} < \tau_{1} <\infty$. Получены  оценки наилучших приближений функций класса Никольского - Бесова $S_{p, \tau_{1}, \theta}^{\bar{r}}B$ по норме пространства $L_{q, \tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$  при различных соотношениях между параметрами $p, q, \tau_{1}, \tau_{2}, \theta$. При некоторых соотношениях между числами $p, q, \tau_{1}, \tau_{2}, \theta$ показана точность этих оценок.

Ключевые слова:  пространство Лоренца, класс Никольского - Бесова,  тригонометрический полином, наилучшее приближение, гиперболический крест

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. Москва: Мир, 1974. 333 c.

2.   Коляда В.И. Перестановки функций и теоремы вложения // Усп. мат. наук. 1989. Т.44, № 4. С. 61–95.

3.   Edmunds D.E., Evans W.D. Hardy operators, function spaces and embedding. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2004. 328 p.

4.   Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.

5.   Лизоркин П.И., Никольский С.М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки зрения // Тр. МИАН СССР. 1989. Т. 187. С. 143–161.

6.   Аманов Т.И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной. Алма-ата: Наука, 1976. 224 с.

7.   Бабенко К.И. О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрические многочленами // Докл. АН СССР. 1960. Т. 132, № 5. С. 982–985.

8.   Теляковский С.А. Некоторые оценки для тригонометрических рядов с квазивыпуклыми коэффициентами // Мат. сб. 1964. Т. 63, № 3. С. 426-444.

9.   Митягин Б.С. Приближение функций в пространствах $L^p$ и $C$ на торе // Мат. сб. 1962. Т. 58, № 4. С. 397–414 .

10.   Бугров Я.С. Приближение классов функций с доминирующей смешанной производной // Мат. сб. 1964. Т. 64, № 3. С. 410–418.

11.   Галеев Э.М. Приближение некоторых классов периодических функций многих переменных суммами Фурье в метрике $\tilde{L}_{p}$ // Успехи мат. наук. 1977. Т. 32, № 4. С. 251–252.

12.   Галеев Э.М. Приближение суммами Фурье классов функций с несколькими ограниченными производными // Мат. зам. 1978. Т. 23, № 2. С. 197 –212.

13.   Темляков В.Н. Приближение периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной разностью // Мат. сб. 1980. Т. 113, № 1. С. 65–80.

14.   Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. МИАН СССР. 1986. Т. 178. C. 3–112.

15.   Романюк А.С. Приближение классов Бесова периодических функций многих переменных в пространстве $L_q$ // Укр. мат. журн. 1991. Т. 43, № 10. С. 1398–1408.

16.   Романюк А.С. Об оценках аппроксимативных характеристик классов Бесова периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн. 1997. Т. 49. С. 1250–1268.

17.   Schmeisser H.-J., Sickel W. Spaces of functions of mixed smoothness and approximation from hyperbolic crosses // J. Approx. Th. 2004. Vol. 128. P. 115–150.

18.   Bekmaganbetov K.A., Toleugazy Y. On the order of the trigonometric diameter of the anisotropic Nikol‘skii–Besov class in the metric anisotropic Lorentz spaces // Anal. Math. 2019. Vol. 45, № 2. P. 237–247.

19.   Тихомиров В.М. Теория приближений. Современные проблемы математики. Москва, 1987. C. 103–270.

20.   Dinh Dung , Temlyakov V.N., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation. / ed. S. Tikhonov. Cham: Birkhauser, 2018. 222 p. (Ser. Advanced Courses in Mathematics CRM Barcelona).

21.   Temlyakov V. Multivariate approximation. Cambridge: Cambridge University Press, 2018. 551 p.

22.   Kokilashvili V., Yildirir Y.E. On the approximation by trigonometric polynomials in weighted Lorentz spaces // J. Func. Spaces Applic. 2010. Vol. 8, no. 1. P. 67–86.

23.   Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. Москва: Наука, 1978. 400 с.

24.   Акишев Г. О порядках M-членных приближений классов функций симметричного пространства // Мат. жур. 2014. Т. 14, № 4. C. 46–71.

25.   Яценко А.А. Итеративные перестановки функций и пространства Лоренца // Изв. вузов. Математика. 1998. № 5. С. 73–77.

Поступила 09.09.2019

После доработки 20.05.2020

Принята к публикации 25.05.2020

Акишев Габдолла
д-р физ.-мат. наук, профессор
Евразийский Национальный университет имени Л.Н. Гумилева
г. Нур-Султан;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: akishev_g@mail.ru

Ссылка на статью: Г. Акишев. Оценки наилучших приближений функций класса Никольского - Бесова в  пространстве Лоренца тригонометрическими полиномами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 2. С. 5-27

English

G. Akishev. Estimates for the best approximations of functions from the Nikol’skii–Besov class in the Lorentz space by trigonometric polynomials

We consider spaces of periodic functions of many variables, specifically, the Lorentz space $L_{p, \tau}(\mathbb{T}^{m})$ and the Nikol'skii-Besov space $S_{p, \tau, \theta}^{\bar{r}}B$, and study the best approximation of a function $f \in L_{p, \tau}(\mathbb{T}^{m})$ by trigonometric polynomials with the numbers of harmonics from a step hyperbolic cross. Sufficient conditions are established for a function $f \in L_{p, \tau_{1}}(\mathbb{T}^{m})$ to belong to a space $L_{q, \tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$ in the cases $1 <p <q <\infty$, $1 <\tau_{1}, \tau_{2} <\infty$ and $p = q$, $ 1 <\tau_{2} <\tau_{1} <\infty$. Estimates for the best approximations of functions from the Nikol'skii-Besov class $S_{p, \tau_{1}, \theta}^{\bar{r}}B$ in the norm of the space $L_{q, \tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$ are derived for different relations between the parameters $p$, $q$, $\tau_{1}$, $\tau_{2}$, and~$\theta$. For some relations between these parameters, it is shown that the estimates are exact.

Keywords: Lorentz space, Nikol'skii-Besov class, trigonometric polynomial, best approximation, hyperbolic cross

Received September 9, 2019

Revised May 20, 2020

Accepted May 25, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Gabdolla Akishev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., L.N.Gumilyov Eurasian National University, Nur–Sultan, 100008 Republic Kazakhstan; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: akishev_g@mail.ru.

Cite this article as: G.Akishev. Estimates for the best approximations of functions from the Nikol’skii–Besov class in the Lorentz space by trigonometric polynomials, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 5–27.

[References -> on the "English" button bottom right]