В.В. Арестов, А.А. Селезнев. Наилучшее $L^2$-продолжение алгебраических многочленов с единичной евклидовой сферы на концентрическую сферу ... С. 47-55

УДК 517.518.86

MSC: 41A63, 41A99, 26C05

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-47-55

Работа выполнена при поддержке Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013). Исследования первого автора поддержаны также РФФИ (проект 18-01-00336).

В данной работе рассматривается задача о продолжении алгебраических многочленов  с  единичной  сферы евклидова пространства размерности $m\ge 2$  на концентрическую сферу радиуса $r\ne 1$ с наименьшим значением ${L^{2}}$-нормы. Найдено продолжение произвольного многочлена. Как следствие, получено наилучшее продолжение  класса многочленов заданной степени $n\ge 1$,  норма которых в пространстве ${L^{2}}$ на единичной сфере не превосходит 1. Показано, что величина наилучшего продолжения равна $r^n$ при $r>1$ и $r^{n-1}$ при $0<r<1.$ Описан наилучший метод продолжения. А.В. Парфененков в 2009 г. получил  подобный результат в равномерной норме на плоскости ($m=2$).

Ключевые слова: многочлен, евклидова сфера, $L^2$-норма, наилучшее продолжение.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Парфененков А.В. Наилучшее продолжение алгебраических многочленов с единичной окружности // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15, № 1. C. 184–194.

2.   Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. Т. III. М.: Физматлит, 2002. 728 с.

3.   Дейкалова М.В. Функционал Тайкова в пространстве алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере // Мат. заметки. 2008. Т. 84, вып. 4. С. 532–551.

4.   Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808 с.

5.   Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 338 с.

Поступила 10.01.2020

После доработки 10.02.2020

Принята к публикации 17.02.2020

Арестов Виталий Владимирович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Уральский федеральный университет;
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru

Селезнев Антон Александрович
магистрант
Уральский федеральный университет 
г. Екатеринбург
e-mail: misterion3000@gmail.com

Ссылка на статью: В.В. Арестов, А.А. Селезнев. Наилучшее $L^2$-продолжение алгебраических многочленов с единичной евклидовой сферы на концентрическую сферу // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 2. С. 47-55.

English

V.V. Arestov, A.A. Seleznev. Best $L^2$-extension of algebraic polynomials from the unit Euclidean sphere to a concentric sphere

We consider the problem of extending algebraic polynomials from the unit sphere of a Euclidean space of dimension $m\ge 2$ to a concentric sphere of radius $r\ne1$ with the smallest value of the $L^2$-norm. An extension of an arbitrary polynomial is found. As a result, we obtain the best extension of a class of polynomials of given degree $n\ge 1$ whose norms in the space $L^2$ on the unit sphere do not exceed 1. We show that the best extension equals $r^n$ for $r>1$ and $r^{n-1}$ for $0<r<1$. We describe the best extension method. A.V. Parfenenkov obtained in 2009 a similar result in the uniform norm on the plane ($m=2$).

Keywords: polynomial, Euclidean sphere, $L^2$-norm, best extension.

Received January 10, 2020

Revised February 10, 2020

Accepted February 17, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University). The research of the first author was also supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00336).

Vitalii Vladimirovich Arestov, Dr. Phys.-Math. Sci., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru

Anton Aleksandrovich Seleznev, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: misterion3000@gmail.com

Cite this article as: V.V.Arestov, A.A.Seleznev. Best L2-extension of algebraic polynomials from the unit Euclidean sphere to a concentric sphere. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 47–55.

[References -> on the "English" button bottom right]