А.-Р.К. Рамазанов, А.К. Рамазанов, В.Г. Магомедова. О явлении Гиббса для рациональных сплайн-функций ... C. 238-251

УДК 517.5

MSC: 97N50

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-238-251

В случае функций $f(x)$, непрерывных на данном отрезке $[a,b]$, кроме точек разрыва со скачком исследовано явление Гиббса для рациональных сплайн-функций $R_{N,1}(x)=R_{N,1}(x,f,\Delta, g)$, определяемых для сетки узлов $\Delta: a=x_0<x_1<\dots<x_N=b$ и набора полюсов $g_i\not \in [x_{i-1},x_{i+1}]$ $(i=1,2,\dots,N-1)$ равенствами $R_{N,1}(x)=[R_i(x)(x-x_{i-1})+R_{i-1}(x)(x_i-x)]/(x_i-x_{i-1})$ при $x\in[x_{i-1}, x_i]$ $(i=1,2,\dots,N)$; здесь рациональные функции $R_i(x)=\alpha_i+\beta_i(x-x_i)+\gamma_i/(x-g_i)$ $(i=1,2,\dots,N-1)$ однозначно определяются условиями $R_i(x_j)=f(x_j)$ $(j=i-1,i,i+1)$; считаем $R_0(x)\equiv R_1(x)$, $R_N(x)\equiv R_{N-1}(x)$. Найдены условия на сетки узлов $\Delta$ для отсутствия и для наличия явления Гиббса в окрестности точки разрыва.

Ключевые слова: интерполяционный сплайн, рациональный сплайн, явление Гиббса

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Математическая энциклопедия. Т.1. М.: Советская Энциклопедия, 1977.

2. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ, 1961.

3. Jerri A.J. The Gibbs phenomenon in Fourier analysis, splines and wavelet approximations. Boston: Springer, 1998. 340 p. (Math. Appl.; vol. 446). doi: 10.1007/978-1-4757-2847-7 

4. Golubov B.I. On Gibbs phenomenon for Riesz spherical means of multiple Fourier integrals and Fourier series // Analysis Mathematica. 1978. Vol. 4, no. 4, pp. 269–287. doi: 10.1007/BF02020575 

5. Olevska Yu.B., Olevskyi V.I., Shapka I.V., Naumenko T.S. Application of two-dimensional Pade-type approximants for reducing the Gibbs phenomenon // AIP Conf. Proc. 2019. Vol. 2164. Art.- no. 060014. doi: 10.1063/1.5130816 

6. Mohammad M. On the Gibbs effect based on the quasi-affine dual tight framelets system generated using the mixed oblique extension principle // Mathematics. 2019. Vol. 7, no. 10. Art.-no. 952. 14 p. doi: 10.3390/math7100952 

7. Lin S., Xu Y., Chen Y., Chang C., Chen Y.E., Chen J. Gibbs-phenomenon-reduced digital PWM for power amplifiers using pulse modulation // IEEE Access. 2019. Vol. 7. P. 178788–178797. doi: 10.1109/ACCESS.2019.2958866 

8. Субботин Ю.Н. Вариации на тему сплайнов // Фундамент. и прикл. математика. 1997. Т. 3, вып. 4. С. 1043–1058.

9. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн–функций. М.: Наука, 1980. 352 c.

10. Andreev A. S. On interpolation by cubic splines of a function possessing discontinuities // C.R. Acad. Bulg. Sci. 1974. Vol. 27. P. 881–884.

11. Richards F.B. A Gibbs phenomenon for spline functions // J. Approximation Theory. 1991. Vol. 66. P. 344–351. doi: 10.1016/0021-9045(91)90034-8 

12. Zhimin Zhang, Clyde F. Martin. Convergence and Gibbs phenomenon in cubic spline interpolation of discontinuous functions // J. Computational and Applied Mathematics. 1997. Vol. 87. P. 359–371. doi: 10.1016/s0377-0427(97)00199-4 

13. Квасов Б.И., Кобков В.В. Некоторые свойства кубических эрмитовых сплайнов с дополни- тельными узлами // Докл. АН СССР. 1974. Т. 217, № 5. С. 1007–1010.

14. Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В. Г. Безусловно сходящиеся интерполяционные рациональные сплайны // Мат. заметки. 2018. Т. 103, № 4. С. 592–603. doi: 10.4213/mzm11201 

15. Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В. Г. Сплайны по трехточечным рациональным интерполянтам с автономными полюсами // Дагестанские электронные математические известия. 2017. Вып. 7. C. 16–28. doi: 10.21538/0134-4889-2016-44-4-233-246 

Поступила 10.12.2019

После доработки 18.05.2020

Принята к публикации 25.05.2020

Рамазанов Абдул-Рашид Кехриманович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой математического анализа
Дагестанский государственный университет;
главный науч. сотрудник
Дагестанский научный центр РАН
г. Махачкала
e-mail: ar-ramazanov@rambler.ru

Рамазанов Абдулкафар Кехриманович
канд. физ.-мат. наук, доцент
зав. кафедрой высшей математики и физики
Калужский филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана
г. Калуга
e-mail: akramazanov@mail.ru

Магомедова Вазипат Гусеновна
канд. физ.-мат. наук, доцент
доцент кафедры математического анализа
Дагестанский государственный университет
г. Махачкала
e-mail: vazipat@rambler.ru

Ссылка на статью: А.-Р. К. Рамазанов, А.К. Рамазанов, В.Г. Магомедова. О явлении Гиббса для рациональных сплайн-функций   // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26, № 2. C. 238-251 

English

A.-R.K. Ramazanov, A.K. Ramazanov, V.G. Magomedova. On the Gibbs phenomenon for rational spline functions

In the case of functions $f(x)$ continuous on a given closed interval $[a,b]$ except for jump discontinuity points, the Gibbs phenomenon is studied for rational spline functions $R_{N,1}(x)=R_{N,1}(x,f,\Delta, g)$ defined for a knot grid $\Delta: a=x_0<x_1<\dots<x_N=b$ and a family of poles $g_i\not \in [x_{i-1},x_{i+1}]$ $(i=1,2,\dots,N-1)$ by the equalities $R_{N,1}(x)= [R_i(x)(x-x_{i-1})+R_{i-1}(x)(x_i-x)]/(x_i-x_{i-1})$ for $x\in[x_{i-1}, x_i]$ $(i=1,2,\dots,N)$. Here the rational functions $R_i(x)=\alpha_i+\beta_i(x-x_i)+\gamma_i/(x-g_i)$ $(i=1,2,\dots,N-1)$ are uniquely defined by the conditions $R_i(x_j)=f(x_j)$ $(j=i-1,i,i+1)$; we assume that $R_0(x)\equiv R_1(x)$, $R_N(x)\equiv R_{N-1}(x)$. Conditions on the knot grid~$\Delta$ are found under which the Gibbs phenomenon occurs or does not occur in a neighborhood of a discontinuity point.

Keywords: interpolation spline, rational spline, Gibbs phenomenon

Received December 10, 2019

Revised  May  18, 2020

Accepted  May 25, 2020

A.-R.K. Ramazanov, Dr.Phys.-Math., Prof., Dagestan State University, the Republic of Dagestan, Makhachkala, 367002 Russia; Dagestan Scientific Center RAN, the Republic of Dagestan, Makhachkala, 367025 Russia, e-mail: ar ramazanov@rambler.ru

A.K. Ramazanov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Bauman Moscow State Technical University (Kaluga Branch), Kaluga, 248000, Russia, e-mail: akramazanov@mail.ru

V.G. Magomedova, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Dagestan State University, the Republic of Dagestan, Makhachkala, 367002 Russia, e-mail: vazipat@rambler.ru

 Cite this article as A.-R.K. Ramazanov, A.K. Ramazanov, V.G. Magomedova. On the Gibbs phenomenon for rational spline functions. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 238-251.

[References -> on the "English" button bottom right]