М.И. Сумин. О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптимального управления ... C. 252-269

УДК 517.9+519.853.3

MSC: 49K15, 49N15, 47A52

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-252-269

Работа выполнена при поддержке РФФИ  (проекты  19-07-00782_а,  20-01-00199_а и проект 20-52-00030 Бел_а).

Рассматривается регуляризация классических условий оптимальности (КУО) в выпуклой задаче оптимального управлении для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с поточечным фазовым ограничением-равенством и конечным числом функциональных ограничений типа равенства и неравенства. Множество допустимых управлений задачи по традиции вкладывается в пространство суммируемых с квадратом функций. Однако, целевой функционал не является, вообще говоря, сильно выпуклым. Получение регуляризованных КУО основано на использовании двух параметров регуляризации. Один из них “отвечает” за регуляризацию двойственной задачи, другой же содержится в сильно выпуклом регуляризирующем добавке к целевому функционалу исходной задачи. Основное предназначение регуляризованных принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина — устойчивое генерирование минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги. Регуляризованные КУО: 1) формулируются как теоремы существования в исходной задаче минимизирующих приближенных решений с одновременным конструктивным представлением их конкретных представителей; 2) выражаются в терминах регулярных классических функций Лагранжа и Гамильтона — Понтрягина; 3) являются секвенциальными обобщениями своих классических аналогов и сохраняют их общую структуру; 4) “преодолевают” свойства некорректности КУО и являются регуляризирующими алгоритмами для решения оптимизационных задач.

Ключевые слова: выпуклое оптимальное управление, выпуклое программирование, минимизирующая последовательность, регуляризирующий алгоритм, принцип Лагранжа, принцип максимума Понтрягина, двойственная регуляризация.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.

2.   Гольштейн Е. Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971. 352 с.

3.   Сумин М. И. Параметрическая двойственная регуляризация для задачи оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2009. Т. 49, № 12. С. 2083–2102.

4.   Сумин М. И. Регуляризованная параметрическая теорема Куна — Таккера в гильбертовом пространстве // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2011. Т. 51, № 9. С. 1594–1615.

5.   Сумин М. И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47, № 4. С. 602–625.

6.   Сумин М. И. Устойчивое секвенциальное выпуклое программирование в гильбертовом пространстве и его приложение к решению неустойчивых задач // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2014. Т. 54, № 1. С. 25–49. doi: 10.7868/S0044466914010141 .

7.   Арутюнов А. В. Условия экстремума. Нормальные и вырожденные задачи. Москва: Факториал, 1997. 256 с.

8.   Милютин А. А., Дмитрук А. В., Осмоловский Н. П. Принцип максимума в оптимальном управлении. М.: Изд-во Центра прикладных исследований при мех.-мат. фак-те МГУ, 2004. 168 с.

9.   Сумин М. И. Об устойчивом секвенциальном принципе Лагранжа в выпуклом программировании и его применении при решении неустойчивых задач // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 4. С. 231–240.

10.   Кутерин Ф. А., Сумин М. И. Регуляризованный итерационный принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении, I: оптимизация сосредоточенной системы // Вестн. Удмурт. ун-та (Математика. Механика. Компьютерные науки.). 2016. Т. 26, вып. 4. С. 474–489.
doi: 10.20537/vm160403 .

11.   Breitenbach T., Borzi A. A sequential quadratic hamiltonian method for solving parabolic optimal control problems with discontinuous cost functionals // J. Dyn. Control Syst. 2019. Vol. 25, no. 3. P. 403–435. doi: 10.1007/s10883-018-9419-6 .

12.   Breitenbach T., Borzi A. On the SQH scheme to solve nonsmooth PDE optimal control problems // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2019. Vol. 40, no. 13. P. 1489–1531. doi: 10.1080/01630563.2019.1599911 .

13.   Васильев Ф. П. Методы оптимизации: в 2-х кн. Москва: МЦНМО, 2011. 1056 с.

14.   Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. Москва: Наука, 1979. 432 с.

Поступила 24.03.2020

После доработки 2.05.2020

Принята к публикации 18.05.2020

Сумин Михаил Иосифович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина
г. Тамбов;
Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
г. Нижний Новгород
e-mail: m.sumin@mail.ru

Ссылка на статью:    М.И. Сумин. О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптимального управления  // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26, № 2. C. 252-269

English

M. I. Sumin. On the regularization of the classical optimality conditions in convex optimal control problems.

We consider a regularization of the classical optimality conditions (COCs) in a convex optimal control problem for a linear system of ordinary differential equations with a pointwise state equality constraint and a finite number of functional constraints in the form of equalities and inequalities. The set of admissible controls of the problem is traditionally embedded in the space of square integrable functions. However, the objective functional is not, generally speaking, strongly convex. The proof of regularized COCs is based on the use of two regularization parameters. One of them is “responsible” for the regularization of the dual problem, while the other is contained in a strongly convex regularizing addition to the objective functional of the original problem. The main purpose of the regularized Lagrange principle and Pontryagin maximum principle is the stable generation of minimizing approximate solutions in the sense of J. Warga. The regularized COCs: (1) are formulated as theorems on the existence of minimizing approximate solutions in the original problem with the simultaneous constructive presentation of their specific representatives; (2) are expressed in terms of regular classical Lagrange and Hamilton–Pontryagin functions; (3) are sequential generalizations of their classical counterparts and retain their general structure; (4) “overcome” the properties of ill-posedness of COCs and are regularizing algorithms for optimization problems.

Keywords: convex optimal control, convex programming, minimizing sequence, regularizing algorithm, Lagrange principle, Pontryagin maximum principle, dual regularization.

Received March 24, 2020

Revised May 2, 2020

Accepted May 18, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 19-07-00782_a, 20-01-00199_a, 20-52-00030 Bel_a).

Mikhail Iosifovich Sumin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Tambov State University, Tambov, 392000 Russia; Nizhnii Novgorod State University, Nizhnii Novgorod, 603950 Russia,
e-mail: m.sumin@mail.ru.

Cite this article as: M.I.Sumin. On the regularization of the classical optimality conditions in convex optimal control problems. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 252–269.

[References -> on the "English" button bottom right]