А.Р. Данилин, О.О. Коврижных. Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи быстродействия перевода объекта на множество ... С. 132-146

УДК 517.977

MSC: 93C70, 49N05

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-132-146

Исследование О.О. Коврижных выполнено при поддержке Программы повышения конкурентоспособности ведущих университетов РФ (Соглашение с Минобрнауки РФ 02.А03.21.0006 от 27 августа 2013 г.).

Настоящая работа посвящена задаче оптимального быстродействия  для сингулярно возмущенной линейной автономной системы с гладкими  геометрическими ограничениями на управление и неограниченным целевым множеством:
 $$
 \left\{
 \begin{array}{ll}
 \phantom{\varepsilon}\dot{x}= A_{11}x + A_{12}y + B_1 u, &
 x\in \mathbb{R}^{n},\ y\in \mathbb{R}^{m},\ u\in\mathbb{R}^{r},\\[1ex]
 \varepsilon\dot{y}=A_{21}x + A_{22}y + B_2 u,&
 \|u\|\le 1,\\[1ex]
 x(0)=x_0\not=0,\quad  y(0)=y_0, & 0<\varepsilon\ll 1,\\[1ex]
 x(T_\varepsilon)=0,\quad y(T_\varepsilon)\in \mathbb{R}^{m},\quad T_\varepsilon \longrightarrow \min.
 \end{array}
 \right.
 $$
Доказана единственность представления оптимального управления с нормированным определяющим вектором в предельной задаче. Доказана разрешимость исходной задачи, получены предельные соотношения для времени быстродействия и вектора, определяющего оптимальное управление. Доказан асимптотический аналог теоремы о функции, заданной неявно. С помощью этой теоремы получена полная асимптотика решения задачи по степеням малого параметра $\varepsilon$.

Ключевые слова: оптимальное управление, задача быстродействия, асимптотическое разложение, сингулярно возмущенная задача, малый параметр

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 391 c.

2.   Дмитриев М. Г., Курина Г. А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. № 1. С. 3–51.

3.   Zhang Y., Naidu D. S., Chenxiao Cai, Yun Zou. Singular perturbations and time scales in control theories and applications: an overview 2002–2012 // Intern. J. Informaton and Systems Sciences. 2014. Vol. 9, no. 1. P. 1–36.

4.   Kokotovic P. V., Haddad A. H. Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast modes // IEEE Trans. Automat. Control. 1975. Vol. 20, no. 1. P. 111–113. doi: 10.1109/TAC.1975.1100852 

5.   Дончев А. Системы оптимального управления: Возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987. 156 c.

6.   Donchev A. L., Veliev V. M. Singular perturbation in Mayer’s problem for linear systems // SIAM J. Control Optim. 1983. Vol. 21, no. 4. P. 566–581.

7.   Курина Г. А., Нгуен Т. Х. Асимптотическое решение сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач оптимального управления с разрывными коэффициентами // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2012. Т. 52, № 4. С. 628–652.

8.   Kurina G. А., Hoai N. T. Projector approach for constructing the zero order asymptotic solution for the singularly perturbed linear-quadratic control problem in a critical case // AIP Conference Proceedings. 2018. Vol. 1997. P. 020073.  doi: 10.1063/1.5049067

9.   Данилин А. Р., Ильин А. М. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия // Фундамент. и прикл. математика. 1998. Т. 4, № 3. С. 905–926.

10.   Данилин А. Р., Коврижных О. О. О задаче управления точкой малой массы в среде без сопротивления // Докл. РАН. 2013. Т. 451, № 6. С. 612–614.

11.   Данилин А. Р., Парышева Ю. В. Асимптотика оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления // Докл. РАН. 2009. Т. 427, № 2. С. 151–154.

12.   Шабуров А. А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества и гладкими геометрическими ограничениями на управление // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. гос. ун-та. 2017. Т. 50, № 2. С. 110–120.

13.   Данилин А. Р., Коврижных О. О. О зависимости задачи быстродействия для линейной системы от двух малых параметров // Вест. Челяб. гос. ун-та. Математика, механика, информатика. 2011. Вып. 14. С. 46–60.

14.   Шабуров А. А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества и гладкими геометрическими ограничениями на управление // Вест. Тамбов. ун-та. Серия: естественные и технические науки. 2019. Т. 24, № 125. С. 119–614.  doi: 10.20310/1810-0198-2019-24-125-119-136 

15.   Шабуров А. А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенных задач оптимального управления с гладкими ограничениями на управление и интегральным выпуклым критерием качества: дис. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург, 2019. 132 c.

16.   Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 c.

17.   Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложение решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 с.

18.   Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 c.

Поступила 15.01.2020

После доработки 27.02.2020

Принята к публикации 2.03.2020

Данилин Алексей Руфимович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: dar@imm.uran.ru

Коврижных Ольга Олеговна
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: koo@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.Р. Данилин, О.О. Коврижных. Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи быстродействия перевода объекта на множество // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26,№ 2. С. 132-146

English

A.R. Danilin, O.O. Kovrizhnykh. Asymptotics of a solution to a singularly perturbed time-optimal control problem of transferring an object to a set

The present work is devoted to a time-optimal control problem for a singularly perturbed linear autonomous system with smooth geometric constraints on the control and an unbounded target set:
$$\left\{ \begin{array}{ll} \phantom{\varepsilon}\dot{x}= A_{11}x + A_{12}y + B_1 u, & x\in \mathbb{R}^{n},\,y\in \mathbb{R}^{m},\,u\in\mathbb{R}^{r},\\[1ex]
\varepsilon\dot{y}=A_{21}x + A_{22}y + B_2 u,& \|u\|\le 1,\\[1ex] x(0)=x_0\not=0,\quad y(0)=y_0, & 0<\varepsilon\ll 1,\\[1ex]
x(T_\varepsilon)=0,\quad y(T_\varepsilon)\in \mathbb{R}^{m},\quad T_\varepsilon \longrightarrow \min. \end{array} \right. $$
The uniqueness of the representation of the optimal control with a normalized defining vector in the limit problem is proved. The solvability of the problem is established. The limit relations for the optimal time and the vector determining the optimal control are obtained. An asymptotic analog of the implicit function theorem is proved and used to derive a complete asymptotics of the solution to the problem in powers of the small parameter $\varepsilon$.

Keywords: optimal control, time-optimal control problem, asymptotic expansion, singularly perturbed problem, small parameter

Received January 15, 2020

Revised February 27, 2020

Accepted March 2, 2020

Funding Agency: O.O. Kovrizhnykh’s research is supported by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Aleksei Rufimovich Danilin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: dar@imm.uran.ru

Ol’ga Olegovna Kovrizhnykh, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: koo@imm.uran.ru

Cite this article as: A.R. Danilin, O.O. Kovrizhnykh. Asymptotics of a solution to a singularly perturbed time-optimal control problem of transferring an object to a set. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 132–146.

[References -> on the "English" button bottom right]