В. Го, А.С. Кондратьев, Н.В. Маслова, Л. Мяо. Конечные группы, все максимальные подгруппы которых разрешимы или имеют примарные индексы ... С. 125-131

УДК 512.542

MSC: 20D60, 20D05, 20E28

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-125-131

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и ГФЕН Китая в рамках научного проекта № 20-51-53013 и № 12011530061, ГФЕН Китая в рамках научных проектов № 11771409 и № 11871062, Фонда естествознания провинции Цзянсу в рамках научного проекта № BK20181451 и Программы государственной поддержки ведущих университетов РФ, соглашение № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013.

Хорошо известно, что все максимальные подгруппы конечной разрешимой группы разрешимы и имеют примарные индексы. Однако обратное утверждение неверно. Конечные неразрешимые группы, все локальные подгруппы которых разрешимы, были изучены Дж. Томпсоном (1968). Р. Гуральник (1983) описал все пары $(G,H)$  такие, что $G$ - конечная неабелева простая группа и $H$ - подгруппа примарного индекса в $G$. Некоторые авторы изучали конечные группы, в которых каждая подгруппа непримарного индекса (не обязательно максимальная) является группой, близкой к нильпотентной. Ослабляя условия, Е.Н. Бажанова (Демина) и Н.В. Маслова (2014) рассмотрели класс $\mathfrak{J}_{pr}$ конечных групп, в которых все неразрешимые максимальные подгруппы имеют примарные индексы, и, в частности, определили возможные неабелевы  композиционные факторы неразрешимой группы из класса $\mathfrak{J}_{pr}$. В данной статье продолжено изучение нормального строения неразрешимой группы из класса $\mathfrak{J}_{pr}$. Доказано, что группа из класса $\mathfrak{J}_{pr}$ содержит не более одного неабелева главного фактора и для любого положительного целого числа $n$ существует группа из класса $\mathfrak{J}_{pr}$ с числом неабелевых композиционных факторов, не меньшим $n$. Кроме того, определены все почти простые группы из класса $\mathfrak{J}_{pr}$.

Ключевые слова: конечная группа, максимальная подгруппа, примарный индекс, неразрешимая группа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Демина Е.Н., Маслова Н.В. Неабелевы композиционные факторы конечной группы с арифметическими ограничениями на неразрешимые максимальные подгруппы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т 20, № 2. С. 122–134.

2.   Го В., Маслова Н.В., Ревин Д.О. О пронормальности подгрупп нечетных индексов в некоторых расширениях конечных групп // Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59, № 4. С. 773–790.

3.   Кондратьев А.С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Мат. сб. 1989. Т. 180, № 6. С. 787–797.

4.   Маслова Н.В. Максимальные подгруппы нечётного индекса в конечных группах с простым линейным, унитарным или симплектическим цоколем // Алгебра и логика. 2011. Т. 50, № 2. С. 189–208.

5.   Baryshovets P.P. Finite nonsolvable groups in which subgroups of nonprimary index are nilpotent or are Shmidt groups // Ukrain. Math. J. 1981. Vol. 33, no. 1. P. 37–39.

6.   Bray J.N., Holt D.F., Roney-Dougal C.M. The maximal subgroups of the low-dimensional finite classical groups. Cambridge: Cambridge University Press, 2013. 438 p. (London Math. Soc. Lect. Note Ser.; vol. 407). doi: 10.1017/CBO9781139192576 

7.   Conway J.H., Curtis R.T., Norton S.P., Parker R.A., Wilson R.A. Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p.

8.   Giudici M. Maximal subgroups of almost simple groups with socle PSL(2,q): [e-resource]. arXiv: math/0703685 [math.GR]. 2007. 11 p.

9.   Gorenstein D. Finite groups. Chelsea: N Y, 1968. 520 p.

10.   Guralnick R.M. Subgroups of prime power index in a simple group // J. Algebra. 1983. Vol. 81, no. 2. P. 304–311.

11.   Huppert B. Singer-Zyklen in klassischen Gruppen // Math. Z. 1970. Vol. 117, no. 7. S. 141–150.  

12.   Kleidman P., Liebeck M. The Subgroup structure of the finite classical groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1990. 304 p.

13.   Thompson J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable // Bull. Amer. Math. Soc. 1968. Vol. 74, no. 3. P 383–437.

Поступила 23.04.2020

После доработки 15.05.2020

Принята к публикации 25.05.2020

Вэньбинь Го
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор
Хайнаньский Университет, г. Хайкоу, Китай;
Университет науки и технологии Китая, г. Хэфэй
e-mail: wbguo@ustc.edu.cn

Кондратьев Анатолий Семенович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. сектором
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: A.S.Kondratiev@imm.uran.ru

Маслова Наталья Владимировна
д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: butterson@mail.ru

Лун Мяо
Ph. D.
профессор
Университет Янчжоу, г. Янчжоу, Китай
e-mail: lmiao@yzu.edu.cn

Ссылка на статью: В. Го, А.С. Кондратьев, Н.В. Маслова, Л. Мяо. Конечные группы, все максимальные подгруппы которых разрешимы или имеют примарные индексы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26, № 2. С. 125-131

English

W. Guo, A.S. Kondrat'ev, N.V. Maslova, L. Miao. Finite groups whose maximal subgroups are solvable or have prime power indices.

It is well known that all maximal subgroups of a finite solvable group are solvable and have prime power indices. However, the converse statement does not hold. Finite nonsolvable groups in which all local subgroups are solvable were studied by J. Thompson (1968). R. Guralnick (1983) described all the pairs $(G,H)$ such that $G$ is a finite nonabelian simple group and $H$ is a subgroup of prime power index in $G$. Several authors studied finite groups in which every subgroup of non-prime-power index (not necessarily maximal) is a group close to nilpotent. Weakening the conditions, E.N. Bazhanova (Demina) and N.V. Maslova (2014) considered the class $\mathfrak{J}_{\rm pr}$ of finite groups in which all nonsolvable maximal subgroups have prime power indices and, in particular, described possibilities for nonabelian composition factors of a nonsolvable group from the class $\mathfrak{J}_{\rm pr}$. In the present note, the authors continue the study of the normal structure of a nonsolvable group from $\mathfrak{J}_{\rm pr}$. It is proved that a group from $\mathfrak{J}_{\rm pr}$ contains at most one nonabelian chief factor and, for each positive integer $n$, there exists a group from $\mathfrak{J}_{\rm pr}$ such that the number of its nonabelian composition factors is at least $n$. Moreover, all almost simple groups from $\mathfrak{J}_{\rm pr}$ are determined.

Keywords:  finite group, maximal subgroup, prime power index, nonsolvable subgroup.

Received April 23, 2020

Revised May 15, 2020

Accepted May 25, 2020

Funding Agency: This work was supported by a joint program of the Russian Foundation for Basic Research and the National Natural Science Foundation of China (project nos. 20-51-53013 and 12011530061), by the National Natural Science Foundation of China (project nos. 11771409 and 11871062), by the Natural Science Foundation of Jiangsu Province (project no. BK20181451), and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Wenbin Guo, Dr. Phys.-Math. Sci., School of Science, Hainan University, Haikou, Hainan, 570228 China; and School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China, Hefei, 230026 China, e-mail: wbguo@ustc.edu.cn

Anatolii Semenovich Kondrat’ev, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: A.S.Kondratiev@imm.uran.ru

Natalia Vladimirovna Maslova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: butterson@mail.ru

Long Miao, Ph. D., School of Mathematical Sciences, Yangzhou University, Yangzhou, 225002 China e-mail: lmiao@yzu.edu.cn

Cite this article as: W. Guo, A.S. Kondrat’ev, N.V. Maslova, L. Miao. Finite groups whose maximal subgroups are solvable or have prime power indices. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 125–131.

[References -> on the "English" button bottom right]