М.Р. Зиновьева. О конечных простых группах исключительного лиева типа над полями разных характеристик, графы простых чисел которых совпадают ... С. 147-160

УДК 512.542

MSC: 05C25,20D05,20D06

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-147-160

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 20-01-00456) и в рамках проекта повышения конкурентоспособности, Соглашение между Министерством образования и науки Российской Федерации и Уральским федеральным университетом от 27.08.2013, №02.A03.21.0006.

Пусть $G$ - конечная группа, $\pi(G)$ - множество простых делителей ее порядка, $\omega(G)$ - множество порядков ее элементов. На $\pi(G)$ определяется граф со следующим отношением смежности: различные вершины $r$ и $s$ из $\pi(G)$ смежны тогда и только тогда, когда $rs\in \omega(G)$. Этот граф называется  графом Грюнберга - Кегеля, или графом простых чисел группы $G$ и обозначается через $GK(G)$. В "Коуровской тетради" А.В. Васильев поставил вопрос 16.26 об описании всех пар неизоморфных конечных простых неабелевых групп с одинаковым графом Грюнберга - Кегеля. М. Хаги (2003) и М.А. Звездина (2013) получили такое описание в случае, когда одна из этих групп является спорадической и знакопеременной группой соответственно. Автор (2014) решил этот вопрос для пар конечных простых групп лиева типа над полями одной характеристики. В данной работе доказана следующая теорема.

 Теорема.
Пусть $G$ - конечная простая группа исключительного лиева типа над полем из $q$ элементов и $G_1$ - неизоморфная группе $G$ конечная простая группа лиева типа над полем из $q_1$ элементов, где $q$ и $q_1$ взаимно просты. Если $GK(G)=GK(G_1)$ совпадают, то выполнено одно из следующих утверждений:

$(1)$ $\{G,G_1\}=\{G_2(3),A_1(13)\}$;

$(2)$ $\{G,G_1\}=\{{^2}F_4(2)',A_3(3)\}$;

$(3)$ $\{G,G_1\}=\{{^3}D_4(q),A_2(q_1)\}$, где $(q_1-1)_3\neq 3$, $q_1+1\neq 2^{k_1}$;

$(4)$ $\{G,G_1\}=\{{^3}D_4(q),A_4^{\pm}(q_1)\}$, где $(q_1\mp1)_5\neq 5$;

$(5)$ $\{G,G_1\}=\{G_2(q),G_2(q_1)\}$, где $q$ и $q_1$ не являются степенями числа 3;

$(6)$ $\{G,G_1\}$ - одна из пар $\{F_4(q),F_4(q_1)\}$, $\{{^3}D_4(q),{^3}D_4(q_1)\}$, $\{E_8(q),E_8(q_1)\}$.

Существование пар групп в пп. (3)-(6) неизвестно.

Ключевые слова: конечная простая группа исключительного лиева типа, спектр, граф простых чисел

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп / ред. В.Д. Мазуров. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 2014. Изд. 18-е, доп. 253 с.

2.   Hagie M. The prime graph of a sporadic simple group // Comm. Algebra. 2003. Vol. 31, no. 9. P. 4405–4424. doi: 10.1081/AGB-120022800 

3.   Звездина М.А. О неабелевых простых группах с графом простых чисел как у знакопеременной группы // Сиб. мат. журн. 2013. Т. 54, № 1. С. 65–76.

4.   Зиновьева М.Р. Конечные простые группы лиева типа над полем одной характеристики с одинаковым графом простых чисел // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 2. С. 168–183.

5.   Зиновьева М.Р. О конечных простых классических группах над полями разных характеристик, графы простых чисел которых совпадают. Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 3. С. 101–116. doi: 10.21538/0134-4889-2016-22-3-101-116 

6.   Кондратьев А.С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Мат. сб. 1989. T. 180, № 6. С. 787–797.

7.   Williams J. S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra. 1981. Vol. 69, no. 2. P. 487–513. doi: 10.1016/0021-8693(81)90218-0 

8.   Васильев А.В., Вдовин Е.П. Критерий смежности в графе простых чисел // Алгебра и логика. 2005. Т. 44, № 6. С. 682–725.

9.   Васильев А.В., Вдовин Е.П. Коклики максимального размера в графе простых чисел конечной простой группы // Алгебра и логика. 2011. Т. 50, № 4. С. 425–470.

10.   Zsigmondy K. Zur Theorie der Potenzreste // Monatsh. Math. Phys. 1892. vol. 3, no. 1, pp. 265–284. doi: 10.1007/BF01692444 

11.   Gerono G. C. Note sur la resolution en nombres entiers et positifs de l’equation $x^m=y^n+1$ // Nouv. Ann. Math. (2). 1870. Vol. 9. P. 469-471.

12.   Bugeaud Y., Mihăilescu P. On the Nagell–Ljunggren equation $\displaystyle\frac{x^n-1}{x-1}=y^q$ // Math. Scand. 2007. Vol. 101, no. 2. P. 177–183. doi: 10.7146/math.scand.a-15038 

13.   Zavarnitsine A.V. Recognition of the simple groups $L_3(q)$  by element orders // J. Group Theory. 2004. Vol. 7, no. 1. P. 81–97. doi: 10.1515/jgth.2003.044 

14.   Zavarnitsine A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Sib. Elec. Math. Rep. 2009. Vol. 6. P. 1–12.

Поступила 3.04.2020

После доработки 11.05.2020

Принята к публикации 25.05.2020

Зиновьева Марианна Рифхатовна
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
доцент
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: zinovieva-mr@yandex.ru

Ссылка на статью: М.Р. Зиновьева. О конечных простых группах исключительного лиева типа над полями разных характеристик, графы простых чисел которых совпадают // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН . 2020. Т.26, № 2.  С. 147-160

English

M.R. Zinov’eva. On finite simple groups of exceptional Lie type over fields of different characteristics with coinciding prime graphs

Suppose that $G$ is a finite group, $\pi(G)$ is the set of prime divisors of its order, and $\omega(G)$ is the set of orders of its elements. A graph with the following adjacency relation is defined on $\pi(G)$: different vertices $r$ and $s$ from $\pi(G)$ are adjacent if and only if $rs\in \omega(G)$. This graph is called the {\it Gruenberg--Kegel graph} or the  prime graph of $G$ and is denoted by $GK(G)$. In A.V. Vasil'ev's Question 16.26 from the "Kourovka Notebook", it is required to describe all pairs of nonisomorphic finite simple nonabelian groups with identical Gruenberg-Kegel graphs. M. Hagie (2003) and M.A. Zvezdina (2013) gave such a description in the case where one of the groups coincides with a sporadic group and an alternating group, respectively. The author  (2014) solved this question for pairs finite simple groups of Lie type over fields of the same characteristic. In the present paper we prove the following theorem.

 Theorem. Let $G$ be a finite simple group of exceptional Lie type over a field with $q$ elements, and let $G_1$ be a finite simple group of Lie type over a field with $q$ elements nonisomorphic to $G$, where $q$ and $q_1$ are coprime. If $GK(G)=GK(G_1)$, then one of the following statements holds:

$(1)$ $\{G,G_1\}=\{G_2(3),A_1(13)\}$;

$(2)$ $\{G,G_1\}=\{{^2}F_4(2)',A_3(3)\}$;

$(3)$ $\{G,G_1\}=\{{^3}D_4(q),A_2(q_1)\}$, where $(q_1-1)_3\neq 3$ and $q_1+1\neq 2^{k_1}$;

$(4)$ $\{G,G_1\}=\{{^3}D_4(q),A_4^{\pm}(q_1)\}$, where $(q_1\mp1)_5\neq 5$;

$(5)$ $\{G,G_1\}=\{G_2(q),G_2(q_1)\}$, where $q$ and $q_1$ are not powers of the number~3;

$(6)$ $\{G,G_1\}$ is one of the pairs $\{F_4(q),F_4(q_1)\}$, $\{{^3}D_4(q),{^3}D_4(q_1)\}$, and $\{E_8(q),E_8(q_1)\}$.

 The existence of pairs of groups in statements (3)-(6) is unknown.

Keywords: finite simple exceptional group of Lie type, spectrum, prime graph

Received April 3, 2020

Revised May 11, 2020

Accepted May 25, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 20-01-00456) and  by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Marianna Rifkhatovna Zinov’eva, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Ekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: zinovieva-mr@yandex.ru

Cite this article as: M.R. Zinov’eva. On finite simple groups of exceptional Lie type over fields of different characteristics with coinciding prime graphs, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 147–160.

[References -> on the "English" button bottom right]