УДК 517.5
MSC: 41A15
DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-164-176
Полный текст статьи (Full text)
Статья посвящена задаче экстремальной интерполяции функций с минимальным значением равномерной нормы линейного дифференциального оператора ${\cal L}f(t)=f''(t)+(1/t)f'(t)$ на классе интерполируемых значений этих функций в точках равномерной сетки $\{kh: k=1,2,\ldots,N\}$ с шагом $h\ (h>0)$ при достаточно большом, но конечном числе узлов сетки $N$. Класс интерполируемых данных определяется разностным аналогом дифференциального оператора ${\cal L}$. Этот разностный оператор выбирается из условия зануления сужений функций из ядра дифференциального оператора на равномерную сетку. Основным результатом статьи является двусторонняя оценка константы типа Ю.Н. Субботина экстремальной интерполяции с правильным порядком относительно шага $h$. Задачу нахождения этой константы можно также интерпретировать как обобщенную интерполяционную задачу Фавара, рассматриваемую на классе интерполируемых данных. С помощью этого одномерного результата в настоящей работе найдена оценка сверху в аналогичной задаче для равномерной нормы оператора Лапласа функции двух переменных при трансфинитной интерполяции в конечном числе концентрических окружностей с общим центром в начале координат.
Ключевые слова: интерполяция, дифференциальный оператор, разностный оператор, оператор Лапласа
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gordon W.J., Hall C.A. Transfinite element methods: blending–function interpolation over arbitrary curved element domains // Numer. Math. 1973. Vol. 21, no. 2. P. 109–129.
2. Bejancu A. Thin plate splines for transfinite interpolation at concentric circles // Math. Model. Anal. 2013. Vol. 18, no. 3. P. 446–460. doi: 10.3846/13926292.2013.807317
3. Bejancu A. Transfinite thin plate spline interpolation // Constr. Approx. 2011. Vol. 34, no. 2. P. 237–256. doi: 10.1007/s00365-010-9118-3
4. Favard J. Sur l’interpolation // J. Math. Pures Appl. 1940. Vol. 19, no 9. P. 281–306.
5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1970. 608 c.
6. Субботин Ю.Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными // Тр. МИАН СССР. 1965. T. 78. С. 24–42.
7. Шарма A., Цимбаларио И. Некоторые линейные дифференциальные операторы и обобщенные разности // Мат. заметки. 1977. Т. 21, № 2. С. 161–173.
8. Шевалдин В.Т. Некоторые задачи экстремальной интерполяции в среднем для линейных дифференциальных операторов // Тр. МИАН СССР. 1983. Т. 164. С. 203–240.
9. Mitrinovic′ D.S., Vasic′ P.M. Analytic inequalities. Berlin etc.: Springer Verlag, 1970. 400 p.
10. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. 432 с.
11. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. 632 с.
12. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.
13. Fisher S., Jerome J. Minimum norm extremals in function spaces // Lecture Notes in Math. 1975. Vol. 479. P. 1–209.
14. Новиков С.И. Интерполяция с минимальным значением нормы оператора Лапласа в шаре // Збiрник праць Iнституту матем. НАН України. 2008. Т. 5, no. 1. P. 248–262.
Поступила 24.06.2019
После доработки 9.09.2019
Принята к публикации 14.10.2019
Новиков Сергей Игоревич
канд. физ.-мат. наук
старший научный сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: Sergey.Novikov@imm.uran.ru
Ссылка на статью: С.И. Новиков. Экстремальная функциональная интерполяция для одного линейного дифференциального оператора второго порядка // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 164-176.
English
S.I. Novikov. Extremal function interpolation for a second-order linear differential operator
The paper is devoted to the problem of extremal interpolation of functions with the minimum value of the uniform norm of the linear differential operator ${\cal L}f(t)=f''(t)+(1/t)f'(t)$ on a class of interpolated values of these functions at the points of a uniform grid $\{kh: k=1,2,\ldots,N\}$ with step $h$ $(h>0)$ for a rather large but finite number $N$ of knots of the grid. The class of interpolation data is defined by a difference analog of the differential operator ${\cal L}$. The difference operator is determined by the condition of vanishing of the restrictions of functions from the kernel of the differential operator to the uniform grid. The main result of the paper is a two-sided estimate for an extremal interpolation constant of Subbotin's type with a correct order with respect to the step $h$. The problem of finding this constant can also be interpreted as a generalized interpolation problem of Favard's type considered on the described class of interpolation data. We use this one-dimensional result to derive an upper bound in a similar problem for the uniform norm of the Laplace operator of a function of two variables in the case of transfinite interpolation at a finite number of concentric circles centered at the origin.
Keywords: interpolation, differential operator, difference operator, Laplace operator
Received Juny 24, 2019
Revised September 9, 2019
Accepted October 14, 2019
Novikov Sergey Igorevich, Cand. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108, Russia, e-mail: Sergey.Novikov@imm.uran.ru
Cite this article as: S.I.Novikov. Extremal function interpolation for a second-order linear differential operator, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 164–176.
