УДК 512.542
MSC: 20D10, 20D20, 20E28
DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-155-163
Полный текст статьи (Full text)
Изучается конечная группа $G$, обладающая следующим свойством: для каждой ее максимальной подгруппы $H$ существует подгруппа $H_1$ такая, что $|H_1|=|H|$ и $H_1\in \frak F$, где $\frak F$ - формация всех нильпотентных групп или всех сверхразрешимых групп. Доказано, что если $\frak F=\frak N$ - формация всех нильпотентных групп и группа $G$ ненильпотентна, то $|\pi (G)|=2$ и в $G$ есть нормальная силовская подгруппа. Для формации $\frak F=\frak U$ всех сверхразрешимых групп и разрешимой группы $G$ с рассматриваемым свойством доказывается, что $G$ сверхразрешима или $2\le |\pi (G)|\le 3$; при $|\pi (G)|=3$ группа $G$ имеет силовскую башню сверхразрешимого типа; при $|\pi (G)|=2$ или $G$ имеет нормальную силовскую подгруппу, или для наибольшего $p\in \pi (G)$ некоторая максимальная подгруппа из силовской $p$-подгруппы группы $G$ нормальна в $G$. Если $G$ - неразрешимая группа и для каждой максимальной подгруппы в $G$ существует сверхразрешимая подгруппа такого же порядка, то каждый неабелев композиционный фактор группы $G$ изоморфен $PSL_2(p)$ для некоторого простого числа $p$ и все такие значения $p$ перечислены.
Ключевые слова: конечная группа, разрешимая группа, максимальная подгруппа, нильпотентная подгруппа, сверхразрешимая подгруппа
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. 1924. Т. 31, № 3-4. С. 366–372.
2. Doerk K. Minimal nicht $\ddot{\mathrm{u}}$beraufl$\ddot{\mathrm{o}}$sbare, endliche Gruppen // Math. Z. 1966. Vol. 91, no. 3. P. 198–205. doi: 10.1007/BF01312426
3. Thompson J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable // Bull. Amer. Math. Soc. 1968. Vol. 74. P. 383–437.
4. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. Минск: Наука, 1978. 271 с.
5. Монахов В.С., Тютянов В.Н. О конечных группах с некоторыми подгруппами простых индексов // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 4. C. 833–836.
6. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin; Heidelberg; N Y, 1967. 796 p. doi: 10.1007/978-3-642-64981-3
7. Vdovin E.P. Carter subgroups of finite groups // Siberian Adv. Math. 2009. Vol. 19, iss. 1. P. 24–74. doi: 10.3103/S1055134409010039
8. Казарин Л.С., Корзюков Ю.А. Конечные разрешимые группы со сверхразрешимыми максимальными подгруппами // Изв. вузов. Математика. 1980. № 5. С. 22–27.
9. Gorenstein D. Finite groups. N Y: Harper and Row, 1968. 519 p.
10. Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи мат. наук. 1986. Т. 41, № 1 (247). С. 57–96.
11. Li S., Shi W. A note on the solvability of groups // J. Algebra. 2006. Vol. 304, no. 1. P. 278–285. doi: 10.1016/j.jalgebra.2005.09.028
12. Seitz G.M. Flag-transitive subgroups of Chevalley groups // Ann. Math. 1973. Vol. 97, no. 1. P. 27–56. doi: 10.2307/1970876
13. Gorenstein D., Lyons R. The local structure of finite groups of characteristic 2 type Providence, RI: Am. Math. Soc., 1983. 731 p. (Mem. Amer. Math. Soc; vol. 42). doi: 10.1090/memo/0276
14. Baumann B. Endliche nichtauflosbare Gruppen mit einer nilpotenten maximalen Untergruppen // J. Algebra. 1975. Vol. 38, no. 1. P. 119–135. doi: 10.1016/0021-8693(76)90249-0
15. Thompson J.G. A special class of non solvable groups // Math. Z. 1960. Vol. 72, no. 1. P. 458–462. doi: 10.1007/BF01162968
16. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. М.: Мир, 1985. 352 с.
17. Мазуров В.Д. Минимальное подстановочное представление простой группы Томпсона // Алгебра и логика. 1988. Т. 27, № 5. С. 562–580.
18. Hall P. Theorems like Sylow’s // Proc. Lond. Math. Soc. (3) 1956. Vol. s3-6, no. 2. P. 286–304. doi: 10.1112/plms/s3-6.2.286
19. Guralnick R.M. Subgroups of prime power index in a simple group // J. Algebra. 1983. Vol. 81, no. 2. P. 304–311. doi: 10.1016/0021-8693(83)90190-4
Поступила 15.04.2019
После доработки 27.06.2019
Принята к публикации 8.07.2019
Монахов Виктор Степанович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор кафедры алгебры и геометрии
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины
г. Гомель
e-mail: victor.monakhov@gmail.com
Тютянов Валентин Николаевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор кафедры общенаучных и гуманитарных дисциплин
Международный университет “МИТСО”, Гомельский филиал
г. Гомель
e-mail: vtutanov@gmail.com
Ссылка на статью: В.С. Монахов, В.Н. Тютянов. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами заданных порядков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 155-163.
English
V.S. Monakhov, V.N. Tyutyanov. Finite groups with supersoluble subgroups of given orders
We study a finite group $G$ with the following property: for any of its maximal subgroups $H$, there exists a subgroup $H_1$ such that $|H_1|=|H|$ and $H_1\in \frak F$, where $\frak F$ is the formation of all nilpotent groups or all supersoluble groups. We prove that, if $\frak F=\frak N$ is the formation of all nilpotent groups and $G$ is nonnilpotent, then $|\pi (G)|=2$ and $G$ has a normal Sylow subgroup. For the formation $\frak F=\frak U$ of all supersoluble groups and a soluble group $G$ with the above property, we prove that $G$ is supersoluble, or $2\le |\pi (G)|\le 3$; if $|\pi (G)|=3$, then $G$ has a Sylow tower of supersoluble type; if $|\pi (G)|=2$, then either $G$ has a normal Sylow subgroup or, for the largest $p\in \pi (G)$, some maximal subgroup of a Sylow $p$-subgroup is normal in $G$. If $G$ is nonsoluble and, for each maximal subgroup of $G$, there exists a supersoluble subgroup of the same order, then every nonabelian composition factor of $G$ is isomorphic to $PSL_2(p)$ for some prime $p$; we list all such values of $p$.
Keywords: finite group, soluble group, maximal subgroup, nilpotent subgroup, supersoluble subgroup
Received April 15, 2019
Revised June 27, 2019
Accepted July 8, 2019
Viktor Stepanovich Monakhov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Francisk Skorina Gomel State University, Gomel, 246019, Republic of Belarus, e-mail: victor.monakhov@gmail.com
Valentin Nikolayevich Tyutyanov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Gomel Branch of International University “MITSO”, Gomel, 246029, Republic of Belarus, e-mail: vtutanov@gmail.com
Cite this article as: V.S.Monakhov, V.N.Tyutyanov. Finite groups with supersoluble subgroups of given orders, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 155–163.
