УДК 517.9
MSC: 35Q30, 76D05, 76T10, 76T15
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-4-170-179
Рассмотрена экстремальная (вариационная) задача на минимум некоторого функционала невязки. Экстремальная задача имеет отношение к обратной задаче нахождения коэффициента температуропроводности в модели стационарной диффузии-адвекции-реакции. Функционал невязки представляет собой разность в некоторой метрике между моделируемым и наблюдаемым состояниями модели. Исследуются различные аспекты вариационной задачи. Показано, что множество точек минимума в вариационной задаче может оказаться пустым. Приведены также некоторые условия разрешимости вариационной задачи, когда множество точек минимума непусто. Указаны некоторые условия единственности минимизирующего элемента. Сформулированы понятия слабой и сильной корректности экстремальной задачи. Приведены примеры задач, в которых отсутствуют та и другая корректности, имеет место слабая, но не сильная корректность, указаны некоторые условия сильной корректности. Сформулировано необходимое условие минимума в форме интегрального и локального принципа максимума.
Ключевые слова: уравнение диффузии-адвекции-реакции, коэффициент температуропроводности, обратная задача, функционал невязки, экстремальная задача, вариационный метод, точка минимума
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
2. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и их приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.
3. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009. 457 с.
4. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: УРСС, 2004. 480 с.
5. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford: Clarendon Press, 1961. 652 p.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
7. Короткий А.И., Стародубцева Ю.В. Восстановление коэффициента поглощения в модели стационарной реакции-конвекции-диффузии // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 3. С. 166–181. doi: 10.21538/0134-4889-2024-30-3-166-181
8. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: ФМ, 1961. 203 с.
9. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.
10. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
11. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 392 с.
12. Adams R.A. Sobolev spaces. NY: Academic Press, 1975. 268 p.
13. Goebel M. On existence of optimal control // Mathematische Nachrichten. 1979. No. 93. P. 67–73.
14. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.
15. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.
Поступила 01.08.2024
После доработки 24.09.2024
Принята к публикации 28.10.2024
Короткий Александр Илларионович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: korotkii@imm.uran.ru
Цепелев Игорь Анатольевич
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: tsepelev@imm.uran.ru
Ссылка на статью: А.И. Короткий, И.А. Цепелев. О корректности одной экстремальной задачи, связанной с восстановлением коэффициентов моделей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 4. С. 170-179
English
A.I. Korotkii, I.A. Tsepelev. On the correctness of one extreme problem related to inverse coefficient problems
An extremal (variational) problem on the minimum of a certain residual functional is considered. The extremal problem is related to the inverse problem of finding the thermal diffusivity coefficient in the stationary diffusion–advection–reaction model. The residual functional is the difference in some metric between the simulated and observed state of the model. Various aspects of the variational problem are studied. It is shown that the set of minimum points in a variational problem may turn out to be empty. Some conditions for the solvability of the variational problem are also given when the set of minimum points is nonempty. Some conditions for the uniqueness of a minimizing element are indicated. The concepts of weak and strong correctness of an extremal problem are formulated. Examples of problems are given in which both weak and strong correctness is absent, or there is weak correctness but no strong correctness. Some conditions of strong correctness for extreme problem are specified. A necessary minimum condition is formulated in the form of the integral and local maximum principle.
Keywords: diffusion–advection–reaction equation, thermal diffusivity coefficient, inverse problem, residual functional, extremal problem, variational method, minimum point
Received August 1, 2024
Revised September 24, 2024
Accepted October 28, 2024
Alexander Illarionovich Korotkii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: korotkii@imm.uran.ru
Igor Anatolievich Tsepelev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: tsepelev@imm.uran.ru
Cite this article as: Korotkii A.I., Tsepelev I.A. On the correctness of one extreme problem, related to inverse coefficient problems. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 4, pp. 170–179 .
[References -> on the "English" button bottom right]
