УДК 515.162
MSC: 57M27, 57M25
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-4-149-169
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 23-21-10014, https://rscf.ru/project/23-21-10014/).
В работе строится семейство представлений группы кос $B_n$. Векторные пространства, на которых действует группа кос, задаются как результат отождествления пространств, порожденных правильными раскрасками регулярных деревьев степени 3 с одной отмеченной вершиной. Это отождествление осуществляется с помощью семейства канонических изоморфизмов. Размерности получающихся пространств составляют последовательность чисел Фибоначчи. Далее показывается, как построенные представления могут быть продолжены до инвариантов неориентированных узлов и зацеплений в трехмерной сфере.
Ключевые слова: группа кос, представление, инвариант узлов, инвариант типа Решетихина — Тураева
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bigelow S.L. Braid groups are linear // J. American Math. Soc. 2001. Vol. 14, no. 2. P. 471–486. doi: 10.1090/S0894-0347-00-00361-1
2. Burau W. Uber Zopfgruppen und gleichsinnig verdrillte Verkettungen // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universitat Hamburg. 1935. Vol. 11. P. 179–186. doi: 10.1007/BF02940722
3. Kassel C., Turaev V. Braid groups. Ser. Graduate Texts in Math. Vol. 247. 2008. 348 p. doi: 10.1007/978-0-387-68548-9
4. Kauffman L.H., Lomanco S.J. The Fibonacci model and the Temperley–Lieb algebra // Internat. J. Modern Phys. B. 2009. Vol. 22, no. 29. P. 5065–5080. doi: 10.1142/S0217979208049303
5. Korablev Ph. Invariants for links and 3-manifolds from the modular category with two simple objects. Preprint arXiv:2305.00733 [math.GT]. 28 p. URL: https://arxiv.org/abs/2305.00733 . doi: 10.48550/arXiv.2305.00733
6. Krammer D. The braid group $B_4$ is linear // Inventiones Mathematicae. 2000. Vol. 142. P. 451–486. doi: 10.1007/s002220000088
7. Lawrence R.J. Homological representations of the Hecke algebra // Communic. Math. Phys. 1990. Vol. 135, no. 1. P. 141–191. doi: 10.1007/BF02097660
8. Matveev S.V., Ovchinnikov M.A., Sokolov M.V. Construction and properties of the t-invariant // J. Math. Sci. 2003. Vol. 113, no. 6. P. 849–855. doi: 10.1023/A:1021247621259
9. Reshetikhin N., Turaev V. Invariants of 3-manifolds via link polynomials and quantum groups // Inventiones mathematicae. 1991. Vol. 103, no. 3. P. 547–597. doi: 10.1007/BF01239527
10. Stanley R.P. Catalan numbers. Cambridge: Cambridge University Press, 2015. 215 p. doi: 10.1017/CBO9781139871495
11. Turaev V. Faithful linear representations of the braid groups // Seminaire Bourbaki. 1999–2000. Vol. 42. P. 389–409.
12. Turaev V.G. Quantum invariants of knots and 3-manifolds. Ser. De Gruyter Studies in Math. 2016. 596 p. doi: 10.1515/9783110435221
13. Turaev V. Operator invariants of tangles, and R-matrices // Math. USSR Izvestiya. 1990. Vol. 35. P. 411–444. doi: 10.1070/IM1990v035n02ABEH000711
14. Turaev V., Virelizier A. Monoidal categories and topological field theory. Cham: Birkhäuser, 2017. 513 p. doi: 10.1007/978-3-319-49834-8
15. Wang Z. Topological quantum computation. CBMS Regional Conference Ser. in Math. 2010. Vol. 112. 115 p. doi: 10.1090/cbms/112
Поступила 10.02.2024
После доработки 28.07.2024
Принята к публикации 5.08.2024
Кораблев Филипп Глебович
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург;
доцент
Челябинский государственный университет
г. Челябинск
e-mail: korablev@csu.ru
Ссылка на статью: Ф.Г. Кораблёв. Представления Фибоначчи группы кос // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 4. С. 149-169
English
F.G. Korablev. Fibonacci representations of braid groups
A family of representations is constructed for the braid group $B_n$. The vector spaces on which the braid group acts are defined as the result of identifying the spaces generated by proper colorings of regular trees of degree $3$ with a marked vertex. This identification is done using a family of canonical isomorphisms. The dimensions of the resulting spaces form the sequence of Fibonacci numbers. We then show how the constructed representations can be extended to invariants of unoriented knots and links in a 3-sphere.
Keywords: braid group, representation, knot invariant, Reshetikhin–Turaev type invariant
Received February 10, 2024
Revised July 28, 2024
Accepted August 5, 2024
Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 23-21-10014, https://rscf.ru/en/project/23-21-10014/).
Philipp Glebovich Korablev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia, e-mail: korablev@csu.ru
Cite this article as: F.G. Korablev. Fibonacci representations of braid groups. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 4, pp. 149–169.
[References -> on the "English" button bottom right]
