УДК 512.542
MSC: 20D10, 20D30
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-4-180-187
Работа выполнена при поддержке Национального фонда естественных наук Китая (No. 12101165, No. 12171126) и НФЕНК-БРФФИ (No. 12311530761). Исследования третьего и четвертого авторов выполнены при поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (No. Ф24КИ-021).
Пусть $G$ — конечная группа и ${\cal L}(G)$ — решетка всех подгрупп группы $G$. Подгруппа $M$ группы $G$ называется модулярной в $G$, если $M$ — модулярный элемент (в смысле Куроша) решетки ${\cal L}(G)$, т. е. (1) $\langle X, M \cap Z \rangle=\langle X, M \rangle \cap Z$ для всех $X \leq G, Z \leq G$ таких, что $X \leq Z$, и (2) $\langle M, Y \cap Z \rangle=\langle M, Y \rangle \cap Z$ для всех $Y \leq G, Z \leq G$ таких, что $M \leq Z$. Если $A$ — подгруппа группы $G$, то $A_{m G}$ — подгруппа в $A$, порожденная всеми теми ее подгруппами, которые модулярны в $G$. Мы говорим, что подгруппа $A$ является $N$-модулярной в $G$ ($N\leq G$), если для некоторой модулярной подгруппы $T$ группы $G$, содержащей $A$, $N$ изолирует пару $(T, A_{mG})$, т. е. $N\cap T=N\cap A_{mG}$. Используя эти понятия, мы даем новые характеризации $p$-разрешимых и $p$-сверхразрешимых конечных групп.
Ключевые слова: конечная группа, $p$-разрешимая группа, $p$-сверхразрешимая группа, модулярная подгруппа, $N$-модулярная подгруппа
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Schmidt R. Subgroup lattices of groups. Berlin; Walter de Gruyter, 1994. 564 p.
2. Schmidt R. Endliche Gruppen mit vielen modularen Untergruppen // Abhandl. Math. Semin. Univ. Hamburg. 1969. Vol. 34, iss. 1-2. P. 115–125.
3. Skiba A.N. On sublattices of the subgroup lattice defined byformation Fitting sets // J. Algebra. 2020. Vol. 550. P. 69–85.
4. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1967. 796 p.
Поступила 13.05.2024
После доработки 12.06.2024
Принята к публикации 17.06.2024
А-Мин Лю
канд. физ.-мат. наук, доцент
Школа математики и статистики, Хайнаньский университет, Хайкоу, КНР
e-mail: amliu@hainanu.edu.cn
Сичэ Ван
аспирант
Школа математики и статистики, Хайнаньский университет, Хайкоу, КНР;
Школа математики, Тяньцзиньский университет, Тяньцзинь, КНР
e-mail: 169518909@QQ.com
Сафонов Василий Григорьевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
Институт математики НАН Беларуси, г. Минск, Беларусь
e-mail: vgsafonov@im.bas-net.by
Скиба Александр Николаевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
факультет математики и технологий программирования
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, г. Гомель, Беларусь;
Институт математики НАН Беларуси, г. Минск, Беларусь
e-mail:alexander.skiba49@gmail.com
Ссылка на статью: А-Мин Лю, Сичэ Ван, В.Г. Сафонов, А.Н. Скиба. Решеточные характеризации $p$-разрешимых и $p$-сверхразрешимых конечных групп // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 4. С. 180-187
English
A-Ming Liu, Sizhe Wang, V.G. Safonov, A.N. Skiba. Lattice characterizations of p-soluble and p-supersoluble finite groups
Let $G$ be a finite group, and let ${\cal L}(G)$ be the lattice of all subgroups of $G$. A subgroup $M$ of $G$ is called modular in $G$ if $M$ is a modular element (in the Kurosh sense) of the lattice ${ \cal L}(G)$, i.e., if (1) $\langle X, M \cap Z \rangle=\langle X, M \rangle \cap Z$ for all $X \leq G, Z \leq G$ such that $X \leq Z$, and (2) $\langle M, Y \cap Z \rangle=\langle M, Y \rangle \cap Z$ for all $Y \leq G, Z \leq G$ such that $M \leq Z$. If $A$ is a subgroup of $G$, then $A_{m G}$ is the subgroup of $A$ generated by all its subgroups that are modular in $G$. We say that a subgroup $A$ is $N$-modular in $G$ ($N\leq G$) if, for some modular subgroup $T$ of $G$ containing $A$, $N$ avoids the pair $(T, A_{mG})$, i.e. $N\cap T=N\cap A_{mG}$. Using these notions, we give new characterizations of $p$-soluble and $p$-supersoluble finite groups.
Keywords: finite group, $p$-soluble group, $p$-supersoluble group, modular subgroup, $N$-modular subgroup
Received May 13, 2024
Revised June 12, 2024
Accepted June 17, 2024
Funding Agency: This work was supported by the National Natural Science Foundation of China (project nos. 12101165 and 12171126) as well as jointly by the National Natural Science Foundation of China and the Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research (project no. 12311530761). The research of V.G. Safonov and A.N. Skiba was supported by the Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research (project no. F24KI-021).
A-Ming Liu, Cand. Sci., (Phys.-Math.), Assistant professor, School of Mathematics and Statistics, Hainan University, Haikou, Hainan, 570228 P.R. China, e-mail: amliu@hainanu.edu.cn
Sizhe Wang, graduate student, School of Mathematics and Statistics, Hainan University, Haikou, Hainan, 570228 P.R. China; School of Mathematics, Tianjin University, Tianjin, 300072 China, e-mail: 169518909@QQ.com
Vasily Grigorievich Safonov, Dr. Sci., (Phys.-Math.), Professor, Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk, 220072 Belarus, e-mail: vgsafonov@im.bas-net.by
Alexander Nikolaevich Skiba, Dr. Sci., (Phys.-Math.), Professor, Department of Mathematics and Programming Technologies, Francisk Skorina Gomel State University, Gomel, 246019 Belarus; Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk, 220072 Belarus, e-mail: alexander.skiba49@gmail.com
Cite this article as: A-Ming Liu, Sizhe Wang, V.G. Safonov, A.N. Skiba. Lattice characterizations of p-soluble and p-supersoluble finite groups. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 4, pp. 180–187.
[References -> on the "English" button bottom right]
