С.А. Теляковский, Н.Н. Холщевникова. Условия принадлежности сумм модулей блоков рядов Фурье — Уолша функций ограниченной вариации пространствам $L^p$ ... С. 226-236

УДК 517.518.36

MSC: 42C10

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-226-236

Полный текст статьи (Full text)

Статья переведена: ISSN 0081-5438 

Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S271–S280. (Abstract)

В работе рассматривается вопрос: при каких условиях на строго возрастающую последовательность натуральных чисел ${\{n_{j}\}}_{j=1}^{\infty}$ для всякой функции $f$ ограниченной вариации сумма ряда
$$\sum_{j=1}^{\infty}\bigg|\sum_{k=n_j}^{n_{j+1}-1}c_k(f) w_k(x)\bigg|,$$
где $c_k(f)$ — коэффициенты Фурье — Уолша функции $f$, принадлежит пространству $L^p[0,1)$ при \mbox{$p>1$.} Для случая $p=\infty$ доказано, что такой последовательности не существует, а для конечных $p>1$ получены достаточные условия на последовательность $\{n_{j}\}$, аналогичные полученным первым автором в тригонометрическом случае.

Ключевые слова: ряды Фурье по системе Уолша, функции ограниченной вариации, $L^p$-пространства

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Теляковский С.А. О частных суммах рядов Фурье функций ограниченной вариации // Тр. МИАН. 1997. Т. 219. С. 378–386.

2.   Теляковский С.А. О равномерной сходимости рядов Фурье функций ограниченной вариации // Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 318–326.

3.   Telyakovskii S.A. Some properties of Fourier series of functions with bounded variation // East J. Approx. 2004. Vol. 10, no. 1–2. P. 215–218.

4.   Белов А.С., Теляковский С.А. Усиление теорем Дирихле — Жордана и Янга о рядах Фурье функций ограниченной вариации // Мат. сб. 2007. Т. 198, № 6. С. 25–40.

5.   Trigub R.M. A note on the paper of Telyakovski “Certain properties of Fourier series of functions with bounded variation” // East J. Approx. 2007. Vol. 13, no. 1. P. 1–6.

6.   Малыхин Ю.В., Теляковский С.А., Холщевникова Н.Н. Интегрируемость суммы модулей блоков рядов Фурье — Уолша функций ограниченной вариации // Тр. МИАН. 2015. Т. 290. С. 323–334.

7.   Заставный В.П. Оценки сумм из модулей блоков тригонометрических рядов Фурье // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 4. С. 166–179.

8.   Temlyakov V.N. On absolute summation of Fourier series by subsequences // Analysis Math. 1982. Vol. 8. P. 71–77. doi: 10.1007/BF02073773 .

9.   Павлов А.П. Об абсолютной суммируемости рядов Фурье функций из классов Lip(α,p) // Мат. заметки. 1991. Т. 50, № 1. С. 74–83.

10.   Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения. М.: Наука, 1987. 344 с.

Поступила 04.06.2022

После доработки 23.09.2022

Принята к публикации 26.09.2022

Теляковский Сергей Александрович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Математический институт имени В.А. Стеклова РАН
г. Москва

Холщевникова Наталья Николаевна
д-р физ.-мат. наук, профессор
Московский государственный технологический университет “Станкин”
г. Москва
e-mail: kholshchevnikova@gmail.com

Ссылка на статью: С.А. Теляковский, Н.Н. Холщевникова. Условия принадлежности сумм модулей блоков рядов Фурье — Уолша функций ограниченной вариации пространствам $L^p$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 226-236

English

S.A. Telyakovskii, N.N. Kholshchevnikova. Conditions under which the sums of absolute values of blocks in the Fourier–Walsh series of functions of bounded variation belong to spaces $L^p$

In this paper, the following question is considered: under what conditions on a strictly increasing sequence of natural numbers $\{n_j\}_{j=1}^{\infty}$ does the sum of the series
$$\sum_{j=1}^{\infty}\bigg|\sum_{k=n_j}^{n_{j+1}-1}c_k(f) w_k(x)\bigg|,$$
where $c_k(f)$ are the Walsh—Fourier coefficients of a function $f$, belong to the space $L^p[0,1)$, $p>1$, for any function $f$ of bounded variation? For the case $p=\infty$, it is proved that such a sequence does not exist. For finite $p>1$, sufficient conditions are obtained for the sequence $\{n_{j}\}$; these conditions are similar to the ones obtained by the first author in the trigonometric case.

Keywords: Walsh—Fourier series, functions of bounded variation, $L^p$-spaces

Received June 4, 2022

Revised September 23, 2022

Accepted September 26, 2022

Sergei Alexandrovich Telyakovskii$^†$, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, 119991 Russia.

Natalia Nikolaevna Kholshchevnikova, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Moscow State University of Technology “STANKIN”, Moscow, 127055 Russia, e-mail: kholshchevnikova@gmail.com

Cite this article as: S.A. Telyakovskii, N.N. Kholshchevnikova. Conditions under which the sums of absolute values of blocks in the Fourier–Walsh series of functions of bounded variation belong to spaces $L^p$.  Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S271–S280.

[References -> on the "English" button bottom right]