УДК 519.65
MSC: 41A15
DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-237-249
Полный текст статьи (Full text)
Статья переведена: ISSN 0081-5438
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S229–S241. (Abstract)
На произвольной сетке узлов $\Delta=\{ x_k\}_{k=0}^{\infty}$ полуоси $[x_0;+\infty)$ рассмотрена задача Ю.Н. Субботина экстремальной функциональной интерполяции числовых последовательностей $\{ y_k\}_{k=0}^{\infty}$, у которых разделенные разности $n$-го порядка ограничены, а первые члены $y_0,y_1,\ldots,y_{s-1}$ заранее заданы. При этом требуется найти $n$ раз дифференцируемую функцию $f$ такую, что $f(x_k)=y_k\ (k\in \mathbb Z_+)$, и имеющую наименьшую норму производной порядка $n$ в пространстве $L_{\infty}$. Ю.Н. Субботин поставил и изучил эту задачу только для равномерной сетки узлов на полуоси $[0;+\infty)$. В настоящей работе при $s\ge n$ доказана конечность этой наименьшей нормы, если у сетки узлов интерполяции наименьший шаг $\underline{h}=\inf\limits_k(x_{k+1}-x_{k})$ отделен от нуля, а наибольший $\overline{h}=\sup\limits_k(h_{k+1}-h_k)$ — от бесконечности. В случае второй производной (т.е. при $n=2$) указанная величина точно вычислена при $s=2$ и оценена сверху при $s\ge 3$ в терминах шагов сетки.
Ключевые слова: локальная интерполяция, полуось, произвольная сетка, разделенные разности
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Subbotin Yu.N. Some extremal problems of interpolation and interpolation in the mean // East J. Approx. 1996. Vol. 2, no. 2. P. 155–167.
2. Субботин Ю.Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 78. С. 24–42.
3. Субботин Ю.Н., Новиков С.И., Шевалдин В.Т. Экстремальная функциональная интерполяция и сплайны // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 25, № 2. С. 200–225.
4. Favard J. Sur I’interpolation // J. Math. Pures Appl. 1940. Vol. 19, no. 9. P. 281–306.
5. Рябенький В.С., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. 171 с.
6. Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Порядок наилучшей сплайн-аппроксимации некоторых классов функций // Мат. заметки. 1970. Т. 7, № 1. С. 31–42.
7. Muir Th. The theory of determinants. Vol. 1. NY : Preprinted in Dover Publ., 1960. 503 p.
8. Gautschi W. On inverses of Vandermonde and confluent Vandermonde matrices // Numer. Math. 1962. Vol. 4, no. 1. P. 117–123. doi: 10.1007/BF01386302 .
Поступила 17.02.2022
После доработки 19.08.2022
Принята к публикации 22.08.2022
Шевалдин Валерий Трифонович
д-р физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург,
e-mail: Valerii.Shevaldin@imm.uran.ru
Ссылка на статью: В.Т. Шевалдин. В круге идей Ю. Н. Субботина в задаче локальной экстремальной интерполяции на полуоси // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 237-249
English
V.T. Shevaldin. On Yu. N. Subbotin’s circle of ideas in the problem of local extremal interpolation on the semiaxis
On an arbitrary grid $\Delta=\{x_k\}_{k=0}^{\infty}$ of the half-line $[x_0;+\infty)$, we consider Yu.N. Subbotin's problem of extremal functional interpolation of numerical sequences $\{y_k\}_{k=0}^{\infty}$ such that their first terms $y_0,y_1,\ldots,y_{s-1}$ are given and the $n$th-order divided differences are bounded. It is required to find an $n$-times differentiable function~$f$ with the smallest norm of the $n$th-order derivative in the space $L_{\infty}$ such that $f(x_k)=y_k\ (k\in \mathbb Z_+)$. Subbotin formulated and studied this problem only for a uniform grid on the half-line $[0;+\infty)$. We prove the finiteness of the smallest norm for $s\ge n$ if the smallest step of the interpolation grid $\underline{h}=\inf\limits_k(x_{k+1}-x_{k})$ is bounded away from zero and the largest step $\overline{h}=\sup\limits_k(h_{k+1}-h_k)$ is bounded away from infinity. In the case of the second derivative (i.e., for $n=2$), the required value is calculated exactly for $s=2$ and is estimated from above for $s\ge 3$ in terms of the grid steps.
Keywords: local interpolation, semiaxis, arbitrary grid, divided differences
Received February 17, 2022
Revised August 19, 2022
Accepted August 22, 2022
Valerii Trifonovich Shevaldin, Dr.Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: Valerii.Shevaldin@imm.uran.ru
Cite this article as: V.T. Shevaldin. On Yu.N.Subbotin’s circle of ideas in the problem of local extremal interpolation on the semiaxis. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 4, pp. 237–249; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2022, Vol. 319, Suppl. 1, pp. S229–S241.
[References -> on the "English" button bottom right]
